1Co to jest granica
- Zapis lim(x→x₀) f(x) = g czytamy: gdy x zbliża się do x₀ (ale x ≠ x₀), wartości f(x) zbliżają się do liczby g. Tu x₀ to punkt, do którego dążymy, a g to granica.
- Wartość f(x₀) może być inna niż g albo wcale nie istnieć.
- Krok po kroku: lim(x→2) x² − 4 przez x − 2. Podstawienie x = 2 daje 0 przez 0 – trzeba przekształcić.
- Dla x ≠ 2: (x − 2)(x + 2) przez x − 2 = x + 2. Tabela: x = 1,9; 1,99; 2,01; 2,1 daje 3,9; 3,99; 4,01; 4,1.
- Odpowiedź: granica w 2 wynosi 4, choć f(2) nie istnieje.
2Granice jednostronne
- lim(x→x₀⁺) to granica z prawej strony (x > x₀), lim(x→x₀⁻) z lewej (x < x₀). Granica w x₀ istnieje, gdy obie jednostronne istnieją i są równe.
- Dla f(x) = 1 przez x granice jednostronne w 0 to +∞ (z prawej) i −∞ (z lewej). Granica niewłaściwa +∞ oznacza, że wartości rosną bez ograniczeń.
Granica funkcji w punkcie istnieje, gdy
Wartość w punkcie nie ma znaczenia, liczą się granice z obu stron.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Ciągłość
- Funkcja jest ciągła w x₀, gdy x₀ należy do dziedziny i lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Wykres da się narysować bez odrywania ołówka.
- Zadanie z parametrem: f(x) = x + a dla x < 1 i f(x) = 3 dla x ≥ 1. Granica lewostronna w 1 to 1 + a, f(1) = 3. Ciągłość wymaga 1 + a = 3, czyli a = 2.
Granica w punkcie opisuje „okolice” punktu. Ciągłość znaczy: granica jest równa wartości w punkcie.
Wstawienie x₀ do wzoru i nazwanie wyniku granicą. Gdy wychodzi 0 przez 0, trzeba przekształcić wyrażenie.
✎Ściąga: Granica funkcji, granice jednostronne i ciągłość
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Granica w punkcie opisuje „okolice” punktu. Ciągłość znaczy: granica jest równa wartości w punkcie.
- Krok po kroku: lim(x→2) x² − 4 przez x − 2. Podstawienie x = 2 daje 0 przez 0 – trzeba przekształcić.
- lim(x→x₀⁺) to granica z prawej strony (x > x₀), lim(x→x₀⁻) z lewej (x < x₀). Granica w x₀ istnieje, gdy obie jednostronne istnieją i są równe.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
lim(x→2) x² − 4 przez x − 2 wynosi
- Anie istnieje
- B4
- C2
- D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 4 – Po skróceniu to x + 2, a dla x → 2 wartość dąży do 4.
Dla f(x) = |x| przez x granica prawostronna w 0 wynosi
- A+∞
- B1
- C0
- D−1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 1 – Dla x > 0 mamy |x| = x, więc f(x) = 1.
Granica funkcji f(x) = |x| przez x w punkcie 0
- Anie istnieje
- Bwynosi −1
- Cwynosi 1
- Dwynosi 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: nie istnieje – Granice jednostronne (1 i −1) są różne.
lim(x→0⁺) 1 przez x wynosi
- A+∞
- B0
- C1
- D−∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: +∞ – Dla małych dodatnich x liczba 1 przez x jest bardzo duża dodatnia.
Funkcja jest ciągła w x₀, gdy
- Af(x₀) = 0
- Bf ma w x₀ asymptotę
- Clim(x→x₀) f(x) = f(x₀)
- Dlim(x→x₀) f(x) = ∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀) – To definicja ciągłości w punkcie.
Dla jakiego a funkcja f(x) = x + a dla x < 1 i f(x) = 3 dla x ≥ 1 jest ciągła w 1?
- A2
- B3
- C1
- D4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 – 1 + a = 3, więc a = 2.
f(x) = x² dla x ≤ 1 i f(x) = 2x − 1 dla x > 1. Funkcja w punkcie 1 jest
- Aciągła
- Bnieokreślona
- Cnieciągła, bo f(1) nie istnieje
- Dnieciągła, bo granice jednostronne różne
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ciągła – Z lewej: 1, z prawej: 2 − 1 = 1, f(1) = 1.
Granica funkcji w punkcie istnieje, gdy
- Afunkcja jest rosnąca
- Bgranice jednostronne istnieją i są równe
- Cwykres przechodzi przez początek układu
- Dfunkcja jest określona w tym punkcie
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: granice jednostronne istnieją i są równe – Wartość w punkcie nie ma znaczenia, liczą się granice z obu stron.
Cały dział „Granice i pochodna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.