Trygonometria – powtórka do sprawdzianu

Trygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinków

• P = 1 przez 2 · a · b · sin γ, gdzie a i b to dwa boki trójkąta, a γ to kąt między nimi.
• Równoległobok o bokach a, b i kącie α między nimi: P = a · b · sin α. Romb o boku a: P = a² · sin α.

Kąt skierowany i miara łukowa (rozszerzenie)

• Miara łukowa kąta środkowego to α = l przez r (l – długość łuku, r – promień). Pełny kąt to 2π rad, więc π rad = 180°, a 1 rad ≈ 57,3°.
• Kąt skierowany ma ramię początkowe i końcowe. Obrót przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ma miarę dodatnią, zgodnie z nimi – ujemną. Można obrócić się o więcej niż 360°, np. 400° albo −⁠90°.

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjne (rozszerzenie)

• Dla punktu P(x, y) na ramieniu końcowym kąta α i r = pierwiastek z x² + y² > 0: sin α = y przez r, cos α = x przez r, tg α = y przez x (x ≠ 0).

Wykresy funkcji trygonometrycznych (rozszerzenie)

• Przesunięcie: y = f(x − a) + b – o a w prawo i o b w górę. Wartość bezwzględna: y = |f(x)| – części pod osią OX odbijasz nad oś.
• y = sin x: dziedzina R, zbiór wartości ⟨−⁠1, 1⟩, okres 2π, funkcja nieparzysta, miejsca zerowe x = kπ.
• y = cos x: dziedzina R, zbiór wartości ⟨−⁠1, 1⟩, okres 2π, funkcja parzysta, miejsca zerowe x = π przez 2 + kπ.

Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony (rozszerzenie)

• sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β; tg(α ± β) = tg α ± tg β przez 1 ∓ tg α tg β.
• sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1; tg 2α = 2 tg α przez 1 − tg²α.

Równania trygonometryczne (rozszerzenie)

• sin x = a (|a| ≤ 1): x = x₀ + 2kπ lub x = π − x₀ + 2kπ. cos x = a (|a| ≤ 1): x = x₀ + 2kπ lub x = −⁠x₀ + 2kπ. tg x = a: x = x₀ + kπ, gdzie k ∈ Z (x₀ – jedno z rozwiązań).

Twierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolne

• c² = a² + b² − 2ab · cos γ, gdzie γ jest kątem między bokami a i b (naprzeciw boku c).
• a przez sin α = b przez sin β = c przez sin γ = 2R.