Trygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinków

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometriaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/trygonometria-w-figurach-plaskich-pola-i-dlugosci-odcinkow/

Trygonometria w praktyce: liczysz pola trójkątów i czworokątów oraz długości odcinków w figurach, gdy znasz kąt.

1Co już znasz

Definicje, tabela wartości i kąt rozwarty są w temacie „Trygonometria” z klasy I. Tu je stosujesz: dorysuj wysokość albo przekątną, żeby powstał trójkąt prostokątny.

2Pole trójkąta z sinusem

Zapamiętaj

P = 1 przez 2 · a · b · sin γ, gdzie a i b to dwa boki trójkąta, a γ to kąt między nimi.

Wysokość h = b · sin γ, więc P = 1 przez 2 · a · b · sin γ.

Dowód: wysokość na bok a to h = b · sin γ, więc P = 1 przez 2 · a · h. Dla kąta rozwartego też, bo sin(180° − γ) = sin γ.
Dane: boki 8 i 5, kąt między nimi γ = 120°.
Wzór: sin 120° = sin 60° = pierwiastek z 3 przez 2.
Obliczenia: P = 1 przez 2 · 8 · 5 · pierwiastek z 3 przez 2 = 10pierwiastek z 3.
Odpowiedź: P = 10pierwiastek z 3 ≈ 17,3.

Sprawdź, czy rozumiesz

Pole trójkąta o bokach 8 i 5 i kącie 120° między nimi wynosi

3Równoległobok i romb

Zapamiętaj

Równoległobok o bokach a, b i kącie α między nimi: P = a · b · sin α. Romb o boku a: P = a² · sin α.

Przekątna dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty. Romb o boku 6 i kącie 30°: P = 36 · 1 przez 2 = 18.

4Długości odcinków: trapez krok po kroku

Dane: trapez równoramienny, ramię c = 6, kąt ostry α = 60°, krótsza podstawa b = 4.
Wysokość: h = c · sin α = 6 · pierwiastek z 3 przez 2 = 3pierwiastek z 3.
Rzut ramienia na dłuższą podstawę: c · cos α = 6 · 1 przez 2 = 3. Dłuższa podstawa: a = 4 + 2 · 3 = 10.
Pole: P = (a + b) · h przez 2 = 14 · 3pierwiastek z 3 przez 2 = 21pierwiastek z 3.
Kąt z wartości funkcji odczytasz z kalkulatora lub tablic: tg α = 2 daje α ≈ 63,4°.

Uwaga na błąd

We wzorze na pole bierzesz kąt, który nie leży między danymi bokami. Zaznacz na rysunku ramiona kąta.

Sprawdź, czy rozumiesz

Trapez równoramienny ma ramię 6 i kąt ostry 60° przy podstawie. Jego wysokość to

✎Ściąga: Trygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinków

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

P = 1 przez 2 · a · b · sin γ, gdzie a i b to dwa boki trójkąta, a γ to kąt między nimi.
Równoległobok o bokach a, b i kącie α między nimi: P = a · b · sin α. Romb o boku a: P = a² · sin α.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Pole trójkąta o bokach 8 i 5 i kącie 120° między nimi wynosi
1. A20pierwiastek z 3
2. B10
3. C20
4. D10pierwiastek z 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 10pierwiastek z 3 – P = 1 przez 2 · 8 · 5 · sin 120° = 20 · pierwiastek z 3 przez 2 = 10pierwiastek z 3.
Pole równoległoboku o bokach 8 i 5 i kącie 30° między nimi to
1. A10
2. B40
3. C20
4. D20pierwiastek z 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 20 – P = 8 · 5 · sin 30° = 20. Wynik 40 to pominięcie sinusa.
Romb o boku 6 i kącie ostrym 30° ma pole
1. A18pierwiastek z 3
2. B18
3. C9
4. D36
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 18 – P = a² · sin α = 36 · 1 przez 2 = 18.
Trapez równoramienny ma ramię 6 i kąt ostry 60° przy podstawie. Jego wysokość to
1. A3
2. B2pierwiastek z 3
3. C6pierwiastek z 3
4. D3pierwiastek z 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 3pierwiastek z 3 – h = 6 · sin 60° = 6 · pierwiastek z 3 przez 2 = 3pierwiastek z 3.
Prostokąt ma bok 12, a jego przekątna tworzy z tym bokiem kąt 30°. Drugi bok ma długość
1. A6pierwiastek z 3
2. B6
3. C4pierwiastek z 3
4. D12pierwiastek z 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 4pierwiastek z 3 – Drugi bok to przyprostokątna naprzeciw kąta 30°: 12 · tg 30° = 12 · pierwiastek z 3 przez 3 = 4pierwiastek z 3.
Kąt ostry α spełnia tg α = 2. W przybliżeniu α wynosi
1. A2°
2. B26,6°
3. C60°
4. D63,4°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 63,4° – Z kalkulatora lub tablic: tg 63,4° ≈ 2 (26,6° to kąt, dla którego tangens wynosi 1 przez 2).
Wzór P = 1 przez 2 · a · b · sin γ wynika z tego, że wysokość opuszczona na bok a ma długość
1. Ab · sin γ
2. Bb · cos γ
3. Cb · tg γ
4. Da · sin γ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: b · sin γ – Wysokość jest przyprostokątną naprzeciw kąta γ w trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątną b.
Trójkąt ma boki 10 i 6 oraz pole 15. Kąt ostry między tymi bokami ma miarę
1. A45°
2. B30°
3. C60°
4. D15°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 30° – 15 = 1 przez 2 · 10 · 6 · sin γ, więc sin γ = 1 przez 2 i γ = 30°.

Cały dział „Trygonometria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 9 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratowe Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacja Wzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastków Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Równania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowych Wykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwanie Postacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoru Własności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu Wartość bezwzględna w funkcji kwadratowej Wielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożenia Rozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowej Dzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat Hornera Równania i nierówności wielomianowe Symbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowy Wzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianów Funkcja wymierna – hiperbola i asymptoty Odwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupy Funkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenie Zadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruch Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka Okrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególne Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa Twierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnym Wzajemne położenie dwóch okręgów Dowody istnienia punktów szczególnych trójkąta Kąt skierowany i miara łukowa Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjne Wykresy funkcji trygonometrycznych Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony Równania trygonometryczne Twierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolne Analiza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznaczny Dowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienie Modelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze