1Trójkąt niejednoznaczny
- Dane: bok b, bok a naprzeciw kąta ostrego α (a < b) oraz kąt α. Z twierdzenia sinusów sin β = b · sin α przez a.
- Dane: a = 8, b = 10, α = 30°. Obliczenia: sin β = 10 · 1 przez 2 przez 8 = 0,625, więc β ≈ 38,7° albo β ≈ 141,3°.
- Oba kąty pasują, bo 30° + 141,3° = 171,3° < 180°. Odpowiedź: są dwa trójkąty (z kątem ostrym i z kątem rozwartym β).
| Warunek (α ostry) | Liczba trójkątów |
|---|---|
| a < b · sin α | 0 |
| a = b · sin α | 1 (trójkąt prostokątny) |
| b · sin α < a < b | 2 |
| a ≥ b | 1 (kąt β musi być ostry) |
2Przypadki w równaniach
- Równanie |x − 1| = 2x − 3. Przypadek x ≥ 1: x − 1 = 2x − 3, x = 2 (spełnia warunek, bo 2 ≥ 1). Przypadek x < 1: −x + 1 = 2x − 3, x = 4 przez 3 (nie spełnia x < 1). Odpowiedź: x = 2.
Gdy a < b · sin α (a naprzeciw α), trójkąt
Wyszłoby sin β > 1.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Dowód nie wprost
- Teza: dwie cięciwy okręgu, które nie są średnicami, nie przecinają się w swoich środkach.
- Załóż, że cięciwy AB i CD przecinają się w punkcie M, który jest środkiem obu. Wtedy ACBD jest równoległobokiem wpisanym w okrąg.
- Równoległobok wpisany w okrąg jest prostokątem (kąty przeciwległe są równe i dają 180°, więc po 90°). Przekątne AB i CD prostokąta wpisanego są średnicami – sprzeczność z założeniem.
Zatrzymujesz się na pierwszym znalezionym rozwiązaniu albo nie sprawdzasz, czy wyniki spełniają założenia danego przypadku.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Dane: a = 8, b = 10, α = 30° (a naprzeciw α). Ile jest takich trójkątów?
- A0
- B1
- Cnieskończenie wiele
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2 – b · sin α = 5 < 8 < 10, więc są dwa.
Dla a = 8, b = 10, α = 30° kąt β to w przybliżeniu
- A38,7° lub 141,3°
- Btylko 38,7°
- C60°
- Dtylko 141,3°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 38,7° lub 141,3° – sin β = 0,625 daje oba kąty.
Gdy a = b · sin α, to trójkąt jest
- Arównoboczny
- Bnie istnieje
- Cdwa
- Djeden i prostokątny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: jeden i prostokątny – Wtedy sin β = 1, więc β = 90°.
Gdy a < b · sin α (a naprzeciw α), trójkąt
- Ajest równoramienny
- Bsą dwa
- Cnie istnieje
- Djest jeden
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: nie istnieje – Wyszłoby sin β > 1.
Gdy a ≥ b, to jest
- Ajeden trójkąt (β ostry)
- Bzawsze trójkąt prostokątny
- Cbrak trójkąta
- Ddwa trójkąty
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: jeden trójkąt (β ostry) – Naprzeciw większego boku leży większy kąt, więc β nie może być rozwarty.
Równanie |x − 1| = 2x − 3 ma rozwiązanie
- Ax = 4 przez 3
- Bx = 2
- Cbrak rozwiązań
- Dx = 2 oraz x = 4 przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x = 2 – x = 4 przez 3 nie spełnia założenia x < 1.
Dowód nie wprost polega na
- Asprawdzeniu kilku przykładów
- Brysunku
- Cwyliczeniu wszystkich przypadków
- Dzałożeniu zaprzeczenia tezy i doprowadzeniu do sprzeczności
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: założeniu zaprzeczenia tezy i doprowadzeniu do sprzeczności – Sprzeczność pokazuje, że założenie jest fałszywe.
Równoległobok wpisany w okrąg jest
- Aprostokątem
- Btrapezem prostokątnym
- Crombem
- Ddeltoidem
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: prostokątem – Przeciwległe kąty są równe i mają sumę 180°.
Cały dział „Trygonometria”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.