1Równania elementarne
sin x = a (|a| ≤ 1): x = x₀ + 2kπ lub x = π − x₀ + 2kπ. cos x = a (|a| ≤ 1): x = x₀ + 2kπ lub x = −x₀ + 2kπ. tg x = a: x = x₀ + kπ, gdzie k ∈ Z (x₀ – jedno z rozwiązań).
- sin x = 1 przez 2: x = π przez 6 + 2kπ lub x = 5π przez 6 + 2kπ. W ⟨0, 2π⟩ są dwa rozwiązania: π przez 6, 5π przez 6.
- cos x = 1 przez 2 w ⟨0, 2π⟩: π przez 3 i 5π przez 3. tg x = 1: x = π przez 4 + kπ; w ⟨0, 2π⟩: π przez 4, 5π przez 4.
- sin x = 2 nie ma rozwiązań, bo |a| > 1.
2Równania sprowadzalne
- Dane: 2sin²x − sin x = 0, x ∈ ⟨0, 2π⟩.
- Rozkład: sin x (2 sin x − 1) = 0, więc sin x = 0 lub sin x = 1 przez 2.
- Obliczenia: sin x = 0 daje 0, π, 2π; sin x = 1 przez 2 daje π przez 6, 5π przez 6.
- Odpowiedź: pięć rozwiązań.
- cos 2x = sin x. Wzór: cos 2x = 1 − 2sin²x. Podstawienie s = sin x: 2s² + s − 1 = 0, s = 1 przez 2 lub s = −1. W ⟨0, 2π⟩: π przez 6, 5π przez 6, 3π przez 2 – trzy rozwiązania.
Równanie cos 2x = sin x po podstawieniu s = sin x daje
cos 2x = 1 − 2s², więc 1 − 2s² = s.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Rozwiązania z przedziału
- Zapisz serie rozwiązań, podstawiaj k = 0, ±1, … i zostaw liczby z podanego przedziału.
W ⟨0, 2π⟩ podajesz jedno rozwiązanie równania sin x = a (dla |a| < 1 są zwykle dwa) albo dzielisz przez sin x i gubisz rozwiązania sin x = 0.
✎Ściąga: Równania trygonometryczne
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- sin x = a (|a| ≤ 1): x = x₀ + 2kπ lub x = π − x₀ + 2kπ. cos x = a (|a| ≤ 1): x = x₀ + 2kπ lub x = −x₀ + 2kπ. tg x = a: x = x₀ + kπ, gdzie k ∈ Z (x₀ – jedno z rozwiązań).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Rozwiązaniami równania sin x = 1 przez 2 w przedziale ⟨0, 2π⟩ są
- Aπ przez 3 i 2π przez 3
- Bπ przez 6 i 11π przez 6
- Cπ przez 6 i 5π przez 6
- Dtylko π przez 6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: π przez 6 i 5π przez 6 – Sinus przyjmuje 1 przez 2 w I i II ćwiartce.
Ile rozwiązań w przedziale ⟨0, 2π⟩ ma równanie sin x = 2?
- Ajedno
- Bnieskończenie wiele
- Cżadnego
- Ddwa
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: żadnego – Sinus nie przyjmuje wartości większych od 1.
Rozwiązania równania tg x = 1 to
- Akπ
- Bπ przez 4 + 2kπ
- Cπ przez 2 + kπ
- Dπ przez 4 + kπ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: π przez 4 + kπ – Tangens ma okres π.
Rozwiązania równania cos x = 1 przez 2 w ⟨0, 2π⟩ to
- Aπ przez 6 i 5π przez 6
- Bπ przez 3 i 5π przez 3
- Cπ przez 3
- Dπ przez 3 i 2π przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: π przez 3 i 5π przez 3 – Cosinus jest dodatni w I i IV ćwiartce.
Równanie 2sin²x − sin x = 0 w ⟨0, 2π⟩ ma
- A3 rozwiązania
- B4 rozwiązania
- C2 rozwiązania
- D5 rozwiązań
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 5 rozwiązań – sin x = 0 daje 0, π, 2π, a sin x = 1 przez 2 daje π przez 6, 5π przez 6.
Równanie cos 2x = sin x po podstawieniu s = sin x daje
- A2s² + s − 1 = 0
- Bs² + s = 0
- C2s² − s − 1 = 0
- D1 + 2s² = s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2s² + s − 1 = 0 – cos 2x = 1 − 2s², więc 1 − 2s² = s.
Ogólne rozwiązanie sin x = a to
- A±x₀ + kπ
- Bx₀ + kπ
- Cx₀ + 2kπ lub −x₀ + 2kπ
- Dx₀ + 2kπ lub π − x₀ + 2kπ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x₀ + 2kπ lub π − x₀ + 2kπ – Dwie serie, bo sin(π − x) = sin x.
Rozwiązania tg x = −1 w ⟨0, 2π⟩ to
- A3π przez 4
- B3π przez 4 i 7π przez 4
- C5π przez 4 i 7π przez 4
- Dπ przez 4 i 5π przez 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 3π przez 4 i 7π przez 4 – x₀ = −π przez 4, potem dodajemy π: 3π przez 4 i 7π przez 4.
Cały dział „Trygonometria”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.