Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjne

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometriaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/funkcje-trygonometryczne-dowolnego-kata-cwiartki-i-wzory-redukcyjne/

Zakres rozszerzony: sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta, znaki w ćwiartkach, okresowość i wzory redukcyjne.

1Definicja w układzie współrzędnych

Punkt P(x, y) na ramieniu końcowym kąta α, r – odległość od początku układu.

Zapamiętaj

Dla punktu P(x, y) na ramieniu końcowym kąta α i r = pierwiastek z x² + y² > 0: sin α = y przez r, cos α = x przez r, tg α = y przez x (x ≠ 0).

Dane: P(−⁠3, 4). Wzór: r = pierwiastek z x² + y². Obliczenia: r = 5, sin α = 4 przez 5, cos α = −⁠3 przez 5, tg α = −⁠4 przez 3.

2Znaki w ćwiartkach

I ćwiartka: wszystkie dodatnie. II: tylko sinus. III: tylko tangens. IV: tylko cosinus.

Sprawdź, czy rozumiesz

W której ćwiartce tylko tangens jest dodatni?

3Okresowość

sin i cos mają okres 2π, tg – okres π. Dane: sin13π przez 6. Obliczenia: 13π przez 6 − 2π = π przez 6. Odpowiedź: 1 przez 2.

4Wzory redukcyjne

Sprowadzasz kąt do ostrego: najpierw ustal ćwiartkę i znak funkcji, potem wartość dla kąta ostrego.

Wzór	Przykład
sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −⁠cos α	cos2π przez 3 = −⁠cosπ przez 3 = −⁠1 przez 2
sin(π + α) = −⁠sin α, cos(π + α) = −⁠cos α	sin7π przez 6 = −⁠sinπ przez 6 = −⁠1 przez 2
sin(2π − α) = −⁠sin α, cos(2π − α) = cos α	cos7π przez 4 = cosπ przez 4 = pierwiastek z 2 przez 2
sin(π przez 2 − α) = cos α, cos(π przez 2 − α) = sin α	sin 75° = cos 15°
tg(π + α) = tg α, tg(π − α) = −⁠tg α	tg5π przez 4 = tgπ przez 4 = 1

Uwaga na błąd

Pomijasz znak w II–IV ćwiartce. Najpierw ćwiartka i znak, potem wartość dla kąta ostrego.

Sprawdź, czy rozumiesz

Dla punktu P(−⁠3, 4) na ramieniu końcowym kąta α wartość sin α wynosi

✎Ściąga: Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

Dla punktu P(x, y) na ramieniu końcowym kąta α i r = pierwiastek z x² + y² > 0: sin α = y przez r, cos α = x przez r, tg α = y przez x (x ≠ 0).

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Dla punktu P(−⁠3, 4) na ramieniu końcowym kąta α wartość sin α wynosi
1. A−⁠3 przez 5
2. B4 przez 5
3. C3 przez 5
4. D4 przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 4 przez 5 – r = 5, więc sin α = y przez r = 4 przez 5.
Dla P(−⁠3, 4) wartość cos α wynosi
1. A4 przez 5
2. B3 przez 5
3. C−⁠4 przez 5
4. D−⁠3 przez 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −⁠3 przez 5 – cos α = x przez r = −⁠3 przez 5.
W której ćwiartce tylko tangens jest dodatni?
1. Aw III
2. Bw II
3. Cw IV
4. Dw I
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: w III – W III sinus i cosinus są ujemne, tangens (iloraz) dodatni.
sin7π przez 6 wynosi
1. A−⁠1 przez 2
2. B1 przez 2
3. Cpierwiastek z 3 przez 2
4. D−⁠pierwiastek z 3 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: −⁠1 przez 2 – sin(π + π przez 6) = −⁠sinπ przez 6 = −⁠1 przez 2.
cos2π przez 3 wynosi
1. Apierwiastek z 3 przez 2
2. B1 przez 2
3. C−⁠pierwiastek z 3 przez 2
4. D−⁠1 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −⁠1 przez 2 – cos(π − π przez 3) = −⁠cosπ przez 3 = −⁠1 przez 2.
Okresem funkcji tangens jest
1. Aπ przez 2
2. B2π
3. C4π
4. Dπ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: π – tg(x + π) = tg x.
sin13π przez 6 wynosi
1. A−⁠1 przez 2
2. Bpierwiastek z 3 przez 2
3. C1 przez 2
4. D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 1 przez 2 – 13π przez 6 − 2π = π przez 6, a sinπ przez 6 = 1 przez 2.
tg5π przez 4 wynosi
1. Apierwiastek z 3
2. B1
3. Cpierwiastek z 2 przez 2
4. D−⁠1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 1 – tg(π + π przez 4) = tgπ przez 4 = 1.

Cały dział „Trygonometria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 9 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratowe Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacja Wzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastków Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Równania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowych Wykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwanie Postacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoru Własności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu Wartość bezwzględna w funkcji kwadratowej Wielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożenia Rozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowej Dzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat Hornera Równania i nierówności wielomianowe Symbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowy Wzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianów Funkcja wymierna – hiperbola i asymptoty Odwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupy Funkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenie Zadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruch Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka Okrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególne Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa Twierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnym Wzajemne położenie dwóch okręgów Dowody istnienia punktów szczególnych trójkąta Trygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinków Kąt skierowany i miara łukowa Wykresy funkcji trygonometrycznych Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony Równania trygonometryczne Twierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolne Analiza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznaczny Dowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienie Modelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze