1Suma i różnica kątów
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β; tg(α ± β) = tg α ± tg β przez 1 ∓ tg α tg β.
- Dane: sin 75°. Wzór: sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°.
- Obliczenia: pierwiastek z 2 przez 2 · pierwiastek z 3 przez 2 + pierwiastek z 2 przez 2 · 1 przez 2 = pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4. Podobnie cos 15° = pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4.
2Skąd to się bierze
- Punkty A(cos α, sin α) i B(cos β, sin β) leżą na okręgu o promieniu 1, a kąt AOB ma miarę α − β.
- Ze wzoru na odległość: |AB|² = (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)² = 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β).
- Z twierdzenia cosinusów w trójkącie AOB (boki 1, 1): |AB|² = 2 − 2cos(α − β).
- Porównanie daje cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Stąd (wstawiając −β i wzory redukcyjne) wynikają pozostałe wzory na sin i cos.
W dowodzie wzoru na cos(α − β) cięciwę AB liczymy
Dwa wyrażenia na |AB|² dają wzór.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Kąt podwojony
sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1; tg 2α = 2 tg α przez 1 − tg²α.
- Dane: sin α = 3 przez 5, α ostry. Wzór: cos α = 4 przez 5. Obliczenia: sin 2α = 2 · 3 przez 5 · 4 przez 5 = 24 przez 25, cos 2α = 1 − 2 · 9 przez 25 = 7 przez 25.
- To wzory na sumę dla β = α. Służą też do uzasadniania tożsamości, np. (sin α + cos α)² = 1 + sin 2α.
Zapis sin(α + β) = sin α + sin β. To nieprawda, np. sin(30° + 60°) = 1, a sin 30° + sin 60° ≈ 1,37 – trzeba użyć pełnego wzoru.
✎Ściąga: Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β; tg(α ± β) = tg α ± tg β przez 1 ∓ tg α tg β.
- sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1; tg 2α = 2 tg α przez 1 − tg²α.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
sin(α + β) to
- Acos α cos β − sin α sin β
- Bsin α + sin β
- Csin α cos β + cos α sin β
- Dsin α cos β − cos α sin β
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: sin α cos β + cos α sin β – To wzór na sinus sumy kątów.
cos(α − β) to
- Acos α − cos β
- Bsin α cos β + cos α sin β
- Ccos α cos β + sin α sin β
- Dcos α cos β − sin α sin β
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: cos α cos β + sin α sin β – Przy różnicy znak między iloczynami jest plus.
sin 75° wynosi
- Apierwiastek z 3 + 1 przez 2
- Bpierwiastek z 3 przez 2
- Cpierwiastek z 6 − pierwiastek z 2 przez 4
- Dpierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4 – sin(45° + 30°) daje pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4.
sin 2α to
- Asin²α
- B2 sin α cos α
- C2 sin α
- Dcos²α − sin²α
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2 sin α cos α – Wzór na sumę dla β = α.
cos 2α można zapisać jako
- A2cos α
- B1 + 2sin²α
- C2 sin α cos α
- D1 − 2sin²α
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 1 − 2sin²α – cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α.
Dla sin α = 3 przez 5 i α ostrego sin 2α wynosi
- A7 przez 25
- B24 przez 25
- C6 przez 5
- D12 przez 25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 24 przez 25 – 2 · 3 przez 5 · 4 przez 5 = 24 przez 25.
Dla sin α = 3 przez 5 i α ostrego cos 2α wynosi
- A24 przez 25
- B−7 przez 25
- C7 przez 25
- D16 przez 25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 7 przez 25 – 1 − 2 · 9 przez 25 = 7 przez 25.
W dowodzie wzoru na cos(α − β) cięciwę AB liczymy
- Az twierdzenia Talesa
- Bz twierdzenia sinusów i Talesa
- Cz pola trójkąta
- Dze wzoru na odległość punktów i z twierdzenia cosinusów
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: ze wzoru na odległość punktów i z twierdzenia cosinusów – Dwa wyrażenia na |AB|² dają wzór.
Cały dział „Trygonometria”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.