Kąt skierowany o miarze ujemnej oznacza obrót

zgodny z ruchem wskazówek zegara

przeciwny do ruchu wskazówek zegara

Kąt skierowany i miara łukowa | Matematyka, klasa 2 LO

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometriaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/kat-skierowany-i-miara-lukowa/

Kąt skierowany i miara łukowa

Zakres rozszerzony: kąty większe niż pełny obrót, ujemne i mierzone w radianach – tak liczy się trygonometria na wykresach.

1Kąt skierowany

Kąt skierowany ma ramię początkowe i końcowe. Obrót przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ma miarę dodatnią, zgodnie z nimi – ujemną. Można obrócić się o więcej niż 360°, np. 400° albo −⁠90°.

2Radian

Kąt 1 rad: łuk ma długość równą promieniowi.

Zapamiętaj

Miara łukowa kąta środkowego to α = l przez r (l – długość łuku, r – promień). Pełny kąt to 2π rad, więc π rad = 180°, a 1 rad ≈ 57,3°.

Zamiana: α[rad] = α[°] · π przez 180°, α[°] = α[rad] · 180° przez π.
Długość łuku: l = α · r, gdy α jest w radianach. Dane: α = π przez 3, r = 6. Obliczenia: l = π przez 3 · 6 = 2π. Odpowiedź: 2π.

Sprawdź, czy rozumiesz

Miara łukowa kąta to stosunek

3Wartości do zapamiętania

Kąty w stopniach (wewnątrz) i radianach (na zewnątrz).

30° = π przez 6, 45° = π przez 4, 60° = π przez 3, 90° = π przez 2, 120° = 2π przez 3, 135° = 3π przez 4, 150° = 5π przez 6.
180° = π, 270° = 3π przez 2, 360° = 2π. Zadanie odwrotne: π przez 12 = 15°.

Uwaga na błąd

Kalkulator ustawiony na stopnie, gdy kąt jest w radianach (albo odwrotnie). Przed liczeniem sprawdź tryb DEG/RAD.

✎Ściąga: Kąt skierowany i miara łukowa

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

Miara łukowa kąta środkowego to α = l przez r (l – długość łuku, r – promień). Pełny kąt to 2π rad, więc π rad = 180°, a 1 rad ≈ 57,3°.
Kąt skierowany ma ramię początkowe i końcowe. Obrót przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ma miarę dodatnią, zgodnie z nimi – ujemną. Można obrócić się o więcej niż 360°, np. 400° albo −⁠90°.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

180° to w radianach
1. Aπ
2. B2π
3. C360
4. Dπ przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: π – Półobrót to π rad.
60° to w radianach
1. Aπ przez 2
2. B2π przez 3
3. Cπ przez 6
4. Dπ przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: π przez 3 – 60° · π przez 180° = π przez 3.
3π przez 4 rad to w stopniach
1. A135°
2. B45°
3. C150°
4. D120°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 135° – 3π przez 4 · 180° przez π = 135°.
Kąt skierowany o miarze ujemnej oznacza obrót
1. Azgodny z ruchem wskazówek zegara
2. Brówny zeru
3. Co 360°
4. Dprzeciwny do ruchu wskazówek zegara
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: zgodny z ruchem wskazówek zegara – Dodatnie obroty są przeciwne do wskazówek zegara.
Miara łukowa kąta to stosunek
1. Apromienia do długości łuku
2. Bdługości łuku do promienia
3. Cobwodu do średnicy
4. Dpola wycinka do pola koła
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: długości łuku do promienia – α = l przez r.
Łuk koła o r = 6 opartego na kącie π przez 3 ma długość
1. A2π
2. Bπ
3. C12π
4. D6π
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2π – l = α · r = π przez 3 · 6 = 2π.
Ile stopni ma w przybliżeniu 1 rad?
1. Adokładnie 1°
2. Bokoło 57,3°
3. Cokoło 3,14°
4. D180°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: około 57,3° – 180° ÷ π ≈ 57,3°.
270° to w radianach
1. A3π przez 2
2. Bπ przez 2
3. C2π
4. D5π przez 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3π przez 2 – 270° = 3 · 90° = 3 · π przez 2.

Cały dział „Trygonometria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 8 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratowe Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacja Wzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastków Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Równania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowych Wykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwanie Postacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoru Własności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu Wartość bezwzględna w funkcji kwadratowej Wielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożenia Rozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowej Dzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat Hornera Równania i nierówności wielomianowe Symbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowy Wzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianów Funkcja wymierna – hiperbola i asymptoty Odwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupy Funkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenie Zadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruch Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka Okrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególne Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa Twierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnym Wzajemne położenie dwóch okręgów Dowody istnienia punktów szczególnych trójkąta Trygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinków Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjne Wykresy funkcji trygonometrycznych Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony Równania trygonometryczne Twierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolne Analiza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznaczny Dowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienie Modelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze