Twierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolne

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometriaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/twierdzenia-sinusow-i-cosinusow-trojkaty-dowolne/

Dwa twierdzenia, które pozwalają policzyć brakujące boki i kąty w każdym trójkącie – nie tylko prostokątnym.

1Oznaczenia

Boki a, b, c leżą naprzeciw kątów α, β, γ; R to promień okręgu opisanego.

2Twierdzenie cosinusów

Zapamiętaj

c² = a² + b² − 2ab · cos γ, gdzie γ jest kątem między bokami a i b (naprzeciw boku c).

To Pitagoras z poprawką: dla γ = 90° cos γ = 0 i zostaje c² = a² + b².
Dowód: wysokość na bok a ma długość b · sin γ i dzieli a na odcinki b · cos γ oraz a − b · cos γ. Z Pitagorasa c² = b² sin²γ + (a − b cos γ)² = a² + b² − 2ab cos γ.
Dane: a = 7, b = 8, γ = 60°. Obliczenia: c² = 49 + 64 − 2 · 7 · 8 · 1 przez 2 = 57. Odpowiedź: c = pierwiastek z 57 ≈ 7,55.

3Jaki to trójkąt?

Niech c będzie najdłuższym bokiem. Gdy c² < a² + b², trójkąt jest ostrokątny; gdy c² = a² + b², prostokątny (to twierdzenie odwrotne do Pitagorasa); gdy c² > a² + b², rozwartokątny.
Dane: boki 4, 5, 6. Obliczenia: 6² = 36 < 4² + 5² = 41. Odpowiedź: trójkąt ostrokątny.

Sprawdź, czy rozumiesz

Dla γ = 90° twierdzenie cosinusów przechodzi w

4Twierdzenie sinusów

Zapamiętaj

a przez sin α = b przez sin β = c przez sin γ = 2R.

Dane: a = 10, α = 30°, β = 45°. Wzór: b = a · sin β przez sin α.
Obliczenia: b = 10 · pierwiastek z 2 przez 2 przez 1 przez 2 = 10pierwiastek z 2. Odpowiedź: b = 10pierwiastek z 2 ≈ 14,1; a przy okazji 2R = a przez sin α = 10 · 2 = 20, więc R = 10.
(R) Dowód: poprowadź średnicę BD okręgu opisanego. Kąt BDC = α (dla α ostrego oba kąty wpisane są oparte na łuku BC), a kąt BCD = 90° (oparty na średnicy). W trójkącie BCD: a = 2R · sin α.

5Które twierdzenie wybrać?

Co znasz	Użyj
dwa boki i kąt między nimi	cosinusów
trzy boki	cosinusów (kąt)
bok i kąt naprzeciw + jeszcze jeden kąt lub bok	sinusów

Uwaga na błąd

Kąt γ w twierdzeniu cosinusów musi leżeć między bokami a i b. W sinusach zawsze łącz bok z kątem naprzeciw niego.

Sprawdź, czy rozumiesz

Znasz trzy boki trójkąta i szukasz kąta. Użyjesz

✎Ściąga: Twierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

c² = a² + b² − 2ab · cos γ, gdzie γ jest kątem między bokami a i b (naprzeciw boku c).
a przez sin α = b przez sin β = c przez sin γ = 2R.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Twierdzenie cosinusów dla boku c to
1. Ac² = a² + b² − 2ab · cos γ
2. Bc² = a² − b² − 2ab · cos γ
3. Cc² = a² + b² + 2ab · cos γ
4. Dc = a + b − cos γ
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: c² = a² + b² − 2ab · cos γ – Kąt γ leży między bokami a i b, a znak przed 2ab to minus.
Dla a = 7, b = 8 i γ = 60° bok c ma długość
1. A15
2. Bpierwiastek z 169
3. Cpierwiastek z 113
4. Dpierwiastek z 57
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: pierwiastek z 57 – c² = 49 + 64 − 56 = 57.
Trójkąt o bokach 4, 5, 6 jest
1. Aprostokątny
2. Bostrokątny
3. Crównoramienny
4. Drozwartokątny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: ostrokątny – 36 < 16 + 25 = 41.
Trójkąt o bokach 5, 6, 10 jest
1. Aostrokątny
2. Brównoboczny
3. Crozwartokątny
4. Dprostokątny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: rozwartokątny – 100 > 25 + 36 = 61.
Twierdzenie sinusów mówi, że a przez sin α jest równe
1. A2R
2. BR przez 2
3. CR
4. Da · b
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2R – Stosunek boku do sinusa kąta naprzeciw to średnica okręgu opisanego, 2R.
W trójkącie a = 10, α = 30°, β = 45° bok b to
1. A5pierwiastek z 2
2. B20
3. C10pierwiastek z 2
4. D10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 10pierwiastek z 2 – b = 10 · sin 45° przez sin 30° = 10pierwiastek z 2.
Znasz trzy boki trójkąta i szukasz kąta. Użyjesz
1. Awzoru na pole z sinusem
2. Btwierdzenia cosinusów
3. Ctwierdzenia sinusów (od razu)
4. Dtwierdzenia Talesa
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: twierdzenia cosinusów – Z trzech boków wyliczysz cos kąta z twierdzenia cosinusów.
Dla γ = 90° twierdzenie cosinusów przechodzi w
1. Atwierdzenie sinusów
2. Btożsamość sin²α + cos²α = 1
3. Cwzór na pole
4. Dtwierdzenie Pitagorasa
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: twierdzenie Pitagorasa – Bo cos 90° = 0.

Cały dział „Trygonometria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 10 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratowe Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacja Wzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastków Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Równania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowych Wykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwanie Postacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoru Własności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu Wartość bezwzględna w funkcji kwadratowej Wielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożenia Rozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowej Dzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat Hornera Równania i nierówności wielomianowe Symbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowy Wzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianów Funkcja wymierna – hiperbola i asymptoty Odwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupy Funkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenie Zadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruch Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka Okrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególne Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa Twierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnym Wzajemne położenie dwóch okręgów Dowody istnienia punktów szczególnych trójkąta Trygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinków Kąt skierowany i miara łukowa Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjne Wykresy funkcji trygonometrycznych Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony Równania trygonometryczne Analiza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznaczny Dowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienie Modelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze