✎Ściąga z działu
Równania i nierówności kwadratowe
- Ramiona w górę: „> 0” to „na zewnątrz zer”, „< 0” to „między zerami”. Przy ramionach w dół jest odwrotnie.
- Δ > 0: dwa rozwiązania, x₁ = −b − pierwiastek z Δ przez 2a i x₂ = −b + pierwiastek z Δ przez 2a.
- Δ = 0: jedno rozwiązanie, x₀ = −b przez 2a. Δ < 0: brak rozwiązań rzeczywistych.
Wzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastków (rozszerzenie)
- Jeśli x₁ i x₂ są pierwiastkami równania ax² + bx + c = 0 (Δ ≥ 0), to x₁ + x₂ = −b przez a oraz x₁ · x₂ = c przez a. Litery a, b, c to współczynniki równania.
Równania i nierówności kwadratowe z parametrem (rozszerzenie)
- Dwa różne dodatnie: Δ > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ > 0. Dwa różne ujemne: Δ > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ < 0. Różnych znaków: x₁x₂ < 0.
- Oba pierwiastki większe od 1 (x² − 6x + m = 0): przesuń je o 1. Warunki: Δ = 36 − 4m > 0, (x₁ − 1)(x₂ − 1) = x₁x₂ − (x₁ + x₂) + 1 = m − 5 > 0, (x₁ − 1) + (x₂ − 1) = 4 > 0. Odpowiedź: m ∈ (5, 9).
Równania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowych (rozszerzenie)
- Podstawienie t = x² działa tylko dla równań, w których występują same parzyste potęgi (x⁴ i x²).
Wykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwanie
- Wzór na p ma minus: p = −b przez 2a. Minus w nawiasie (x − p) też „odwraca” kierunek: (x − 3)² przesuwa w prawo.
- Funkcja kwadratowa to f(x) = ax² + bx + c. Tu x to argument, a litery a, b, c to stałe liczby (współczynniki). Warunek a ≠ 0 jest ważny: bez niego x² by zniknęło i zostałaby zwykła prosta.
- Wierzchołek W(p, q) to najniższy punkt paraboli (gdy a > 0) albo najwyższy (gdy a < 0). Literą p oznaczamy jego współrzędną poziomą (x), a q pionową (y).
Postacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoru
- Wierzchołek znasz → postać kanoniczna. Miejsca zerowe znasz → iloczynowa. Punkt przecięcia z OY znasz → ogólna (c).
- p, q to współrzędne wierzchołka, a x₁, x₂ to miejsca zerowe, czyli argumenty, dla których f(x) = 0.
Własności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu
- Wartość najmniejsza (dla a > 0) lub największa (dla a < 0) to zawsze q, osiągana w x = p.
- Dziedzina każdej funkcji kwadratowej to cały zbiór R, bo za x możesz wstawić dowolną liczbę.
- Zbiór wartości (ZW) zależy od kierunku ramion i od q, czyli wysokości wierzchołka: dla a > 0 to ⟨q, +∞), dla a < 0 to (−∞, q⟩. Nawias ⟨ jest domknięty, bo wierzchołek należy do wykresu.
Wartość bezwzględna w funkcji kwadratowej (rozszerzenie)
- Dla m < 0 równanie |f(x)| = m nie ma rozwiązań, bo moduł nie bywa ujemny.
- |a| to odległość liczby a od zera: |a| = a dla a ≥ 0 i |a| = −a dla a < 0. Wynik nigdy nie jest ujemny.
?Próbny sprawdzian
Pytania z każdego tematu działu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź z wyjaśnieniem.
Rozwiązaniami równania 2x² − 5x + 2 = 0 są
- A1 przez 2 i 2
- B−1 przez 2 i −2
- C1 i 4
- Dtylko 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 przez 2 i 2 – Δ = 25 − 16 = 9, x = 5 ± 3 przez 4, czyli 1 przez 2 lub 2.
Równanie x² + 4 = 0
- Ama jedno rozwiązanie x = 2
- Bnie ma rozwiązań rzeczywistych
- Cma dwa rozwiązania ±2
- Dma dwa rozwiązania ±4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: nie ma rozwiązań rzeczywistych – x² = −4, a kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny.
Rozwiązaniami równania 3x² + 6x = 0 są
- A−2 i 2
- B0 i −2
- Ctylko −2
- D0 i 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0 i −2 – Wyłączamy x: x(3x + 6) = 0, więc x = 0 lub x = −2. Dzielenie przez x zgubiłoby rozwiązanie 0.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 na przedziale ⟨0, 3⟩ wynosi
- A1
- B−3
- C0
- D−2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −3 – Wierzchołek p = 2 należy do przedziału, więc minimum to f(2) = −3.
Największa wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 na przedziale ⟨0, 3⟩ wynosi
- A1
- B−2
- C−3
- D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 – Porównujemy f(0) = 1 i f(3) = −2. Większa jest 1.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 na przedziale ⟨3, 5⟩ wynosi
- A−3
- B1
- C6
- D−2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −2 – Wierzchołek p = 2 jest poza przedziałem, a funkcja rośnie, więc minimum jest na lewym końcu: f(3) = −2.
Wierzchołek paraboli y = x² − 8x + 10 ma współrzędne
- A(4, 6)
- B(8, 10)
- C(4, −6)
- D(−4, −6)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (4, −6) – p = 8 przez 2 = 4, a q = f(4) = 16 − 32 + 10 = −6.
Osią symetrii paraboli y = −2x² + 12x − 7 jest prosta
- Ax = 6
- Bx = −3
- Cx = 3
- Dx = 12
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x = 3 – p = −12 przez 2 · (−2) = 3, więc oś to x = 3.
Parabola y = ax² ma ramiona skierowane w dół i jest węższa niż parabola y = x². Które a pasuje?
- Aa = 1 przez 3
- Ba = 3
- Ca = −1 przez 3
- Da = −3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: a = −3 – Ramiona w dół wymagają a < 0, a węższa parabola oznacza |a| > 1.
Wierzchołek paraboli f(x) = 2(x − 3)² + 5 to
- A(2, 5)
- B(3, −5)
- C(−3, 5)
- D(3, 5)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (3, 5) – Postać a(x − p)² + q daje p = 3 i q = 5.
Miejsca zerowe funkcji f(x) = −(x − 1)(x + 4) to
- A−1 i −4
- B1 i 4
- C1 i −4
- D−1 i 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 1 i −4 – Czynnik x − 1 zeruje się dla x = 1, a x + 4 dla x = −4.
Wykres funkcji f(x) = x² − 5x + 7 przecina oś OY w punkcie
- A(7, 0)
- B(0, −5)
- C(0, 7)
- D(0, 0)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (0, 7) – f(0) = c = 7.
Zbiorem wartości funkcji f(x) = −x² + 4x − 1 jest
- A⟨3, +∞)
- B⟨2, +∞)
- C(−∞, 2⟩
- D(−∞, 3⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (−∞, 3⟩ – Ramiona w dół, p = 2, q = f(2) = −4 + 8 − 1 = 3, więc ZW = (−∞, 3⟩.
Funkcja f(x) = x² − 6x + 5 jest rosnąca w przedziale
- A⟨3, +∞)
- B(−∞, 3⟩
- C⟨−4, +∞)
- D(−∞, −4⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ⟨3, +∞) – p = 3, ramiona w górę, więc rośnie na prawo od wierzchołka. Liczba −4 to q, a nie p.
Największa wartość funkcji f(x) = −2(x + 1)² + 7 jest równa
- A7
- B−7
- Cfunkcja nie ma największej wartości
- D−1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 7 – Ramiona w dół, więc maksimum to q = 7.
Sprawdzian już blisko? Zrób test z całego działu
10 losowych pytań z tematów działu, wynik w procentach i ocena od 1 do 6. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.