1Dziedzina i zbiór wartości
- Dziedzina każdej funkcji kwadratowej to cały zbiór R, bo za x możesz wstawić dowolną liczbę.
- Zbiór wartości (ZW) zależy od kierunku ramion i od q, czyli wysokości wierzchołka: dla a > 0 to ⟨q, +∞), dla a < 0 to (−∞, q⟩. Nawias ⟨ jest domknięty, bo wierzchołek należy do wykresu.
- Przykład: f(x) = (x − 2)² − 1 ma ZW = ⟨−1, +∞).
2Monotoniczność
| znak a | maleje w | rośnie w |
|---|---|---|
| a > 0 | (−∞, p⟩ | ⟨p, +∞) |
| a < 0 | ⟨p, +∞) | (−∞, p⟩ |
- p to współrzędna x wierzchołka. W wierzchołku parabola „zawraca”, więc tam zmienia się monotoniczność.
Dziedziną każdej funkcji kwadratowej jest
Za x można podstawić dowolną liczbę rzeczywistą.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Miejsca zerowe
- Ich liczbę mówi znak wyróżnika Δ: Δ > 0 dwa, Δ = 0 jedno, Δ < 0 brak. Wzory na nie poznasz w temacie o równaniach kwadratowych.
4Odczyt z wykresu – przykład
- Dane: f(x) = x² − 4x + 3, zera 1 i 3, wierzchołek W(2, −1), ramiona w górę.
- f(x) > 0 dla x < 1 lub x > 3. f(x) < 0 dla 1 < x < 3.
- Maleje w (−∞, 2⟩, rośnie w ⟨2, +∞). ZW = ⟨−1, +∞).
- Wartość najmniejsza to −1 (dla x = 2). Wartości największej nie ma.
- Porównanie z inną liczbą: f(x) = 3 dla x = 0 i x = 4 (prosta y = 3 przecina parabolę). Stąd f(x) ≥ 3 dla x ≤ 0 lub x ≥ 4, a f(x) < 3 dla 0 < x < 4.
Wartość najmniejsza (dla a > 0) lub największa (dla a < 0) to zawsze q, osiągana w x = p.
Pomylenie osi. Przedziały monotoniczności zapisujemy przez p (oś x), a zbiór wartości przez q (oś y). „Maleje w (−∞, q⟩” to błąd.
Największa wartość funkcji f(x) = −2(x + 1)² + 7 jest równa
Ramiona w dół, więc maksimum to q = 7.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Własności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Wartość najmniejsza (dla a > 0) lub największa (dla a < 0) to zawsze q, osiągana w x = p.
- Dziedzina każdej funkcji kwadratowej to cały zbiór R, bo za x możesz wstawić dowolną liczbę.
- Zbiór wartości (ZW) zależy od kierunku ramion i od q, czyli wysokości wierzchołka: dla a > 0 to ⟨q, +∞), dla a < 0 to (−∞, q⟩. Nawias ⟨ jest domknięty, bo wierzchołek należy do wykresu.
- p to współrzędna x wierzchołka. W wierzchołku parabola „zawraca”, więc tam zmienia się monotoniczność.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Zbiorem wartości funkcji f(x) = −x² + 4x − 1 jest
- A⟨3, +∞)
- B⟨2, +∞)
- C(−∞, 2⟩
- D(−∞, 3⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (−∞, 3⟩ – Ramiona w dół, p = 2, q = f(2) = −4 + 8 − 1 = 3, więc ZW = (−∞, 3⟩.
Funkcja f(x) = x² − 6x + 5 jest rosnąca w przedziale
- A⟨3, +∞)
- B(−∞, 3⟩
- C⟨−4, +∞)
- D(−∞, −4⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ⟨3, +∞) – p = 3, ramiona w górę, więc rośnie na prawo od wierzchołka. Liczba −4 to q, a nie p.
Największa wartość funkcji f(x) = −2(x + 1)² + 7 jest równa
- A7
- B−7
- Cfunkcja nie ma największej wartości
- D−1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 7 – Ramiona w dół, więc maksimum to q = 7.
Ile miejsc zerowych ma funkcja f(x) = x² − 2x + 3?
- Atrzy
- Bżadnego
- Cdwa
- Djedno
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: żadnego – Δ = 4 − 12 = −8 < 0, więc parabola nie przecina osi OX.
Funkcja f(x) = x² − 2x − 3 przyjmuje wartości ujemne dla
- Ax ∈ (−3, 1)
- Bx ∈ (−∞, −1) ∪ (3, +∞)
- Cx ∈ ⟨−1, 3⟩
- Dx ∈ (−1, 3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x ∈ (−1, 3) – Zera to −1 i 3, ramiona w górę, więc pod osią jest wykres między zerami (bez nich, bo f(x) < 0 jest nierównością ostrą).
Dziedziną każdej funkcji kwadratowej jest
- Azbiór R bez p
- Bprzedział (0, +∞)
- Czbiór R
- Dprzedział ⟨q, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: zbiór R – Za x można podstawić dowolną liczbę rzeczywistą.
Funkcja f(x) = 3(x − 4)² − 2 maleje w przedziale
- A⟨−2, +∞)
- B⟨4, +∞)
- C(−∞, 4⟩
- D(−∞, −2⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (−∞, 4⟩ – Ramiona w górę, p = 4, więc maleje na lewo od wierzchołka.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 6x + 11 jest równa
- A2
- B−2
- C11
- D3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 – p = 3, q = f(3) = 9 − 18 + 11 = 2.
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.