1Na przedziale domkniętym
- W przedziale ⟨m, n⟩ porównujesz trzy wartości: f(m), f(n) oraz wartość w wierzchołku, ale tylko wtedy, gdy p = −b przez 2a leży w tym przedziale. Największa z nich to maksimum, najmniejsza to minimum.
- Dane: f(x) = x² − 4x + 1, wierzchołek W(2, −3), ramiona w górę.
- Przedział ⟨0, 3⟩: p = 2 należy do niego. Wartości: f(0) = 1, f(2) = −3, f(3) = −2. Odpowiedź: min −3, max 1.
- Przedział ⟨3, 5⟩: p = 2 nie należy do niego, więc liczymy tylko końce: f(3) = −2, f(5) = 6. Odpowiedź: min −2, max 6.
- Na całej osi ℝ funkcja z a > 0 ma najmniejszą wartość q w wierzchołku, a największej nie ma. Dla a < 0 jest odwrotnie.
Wierzchołek paraboli leży poza przedziałem ⟨m, n⟩. Najmniejszej i największej wartości funkcji szukamy
Poza wierzchołkiem funkcja kwadratowa jest monotoniczna, więc obie wartości są na końcach przedziału.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Zadania optymalizacyjne
- Plan: (1) nazwij niewiadomą, (2) zapisz wielkość jako funkcję tej jednej zmiennej, (3) ustal dziedzinę z treści, (4) sprawdź wierzchołek i końce, (5) napisz odpowiedź z jednostką.
- Prostokąt o obwodzie 20 cm: boki x i 10 − x, pole P(x) = x(10 − x) = −x² + 10x, x ∈ (0, 10). Wierzchołek dla x = 5 daje 25 cm², czyli kwadrat.
- Ogród przy murze, siatka 40 m na trzy boki: boki x, x i 40 − 2x, pole P(x) = x(40 − 2x) = −2x² + 40x. Wierzchołek dla x = 10 daje P = 200 m².
- Piłka: h(t) = −5t² + 20t (m), t to czas w sekundach. Wierzchołek dla t = 2 daje maksymalną wysokość 20 m. Piłka wraca na ziemię po 4 s.
- Gdy wierzchołek wypada poza dziedziną z zadania, bierzesz koniec przedziału. Prostokąt o obwodzie 20, w którym bok x ma co najmniej 6 (x ∈ ⟨6, 10)): pole maleje dla x > 5, więc największe jest P(6) = 6 · 4 = 24.
Podanie wartości z wierzchołka bez sprawdzenia, czy p należy do dziedziny z zadania. Drugi błąd to podanie t zamiast wartości h(t), gdy pytają o wysokość.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 na przedziale ⟨0, 3⟩ wynosi
- A1
- B−3
- C0
- D−2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −3 – Wierzchołek p = 2 należy do przedziału, więc minimum to f(2) = −3.
Największa wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 na przedziale ⟨0, 3⟩ wynosi
- A1
- B−2
- C−3
- D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 – Porównujemy f(0) = 1 i f(3) = −2. Większa jest 1.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 na przedziale ⟨3, 5⟩ wynosi
- A−3
- B1
- C6
- D−2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −2 – Wierzchołek p = 2 jest poza przedziałem, a funkcja rośnie, więc minimum jest na lewym końcu: f(3) = −2.
Prostokąt ma obwód 20. Jakie największe pole może mieć?
- A25
- B100
- C50
- D20
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 25 – P(x) = x(10 − x) ma wierzchołek dla x = 5 i wartość 25.
Ogrodzenie ma 40 m i obejmuje trzy boki prostokąta (czwarty to mur). Największe pole to
- A100 m²
- B160 m²
- C200 m²
- D400 m²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 200 m² – P(x) = x(40 − 2x), wierzchołek dla x = 10 daje 200.
Piłka rzucona do góry ma wysokość h(t) = −5t² + 20t. Największa wysokość wynosi
- A2 m
- B40 m
- C20 m
- D4 m
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 20 m – Wierzchołek dla t = 2 s, a h(2) = −20 + 40 = 20 m.
Funkcja g(x) = −x² + 6x ma na ℝ
- Anajwiększą wartość 9
- Bnajmniejszą wartość 9
- Cnajwiększą wartość 3
- Dnajmniejszą wartość 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: największą wartość 9 – Ramiona w dół, p = 3, g(3) = 9, więc to maksimum.
Wierzchołek paraboli leży poza przedziałem ⟨m, n⟩. Najmniejszej i największej wartości funkcji szukamy
- Atylko na końcach przedziału
- Bw wierzchołku
- Cw miejscach zerowych
- Dtylko w środku przedziału
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: tylko na końcach przedziału – Poza wierzchołkiem funkcja kwadratowa jest monotoniczna, więc obie wartości są na końcach przedziału.
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.