1Wzory Viète'a
Jeśli x₁ i x₂ są pierwiastkami równania ax² + bx + c = 0 (Δ ≥ 0), to x₁ + x₂ = −b przez a oraz x₁ · x₂ = c przez a. Litery a, b, c to współczynniki równania.
- Skąd się biorą? Dodaj x₁ = −b − pierwiastek z Δ przez 2a i x₂ = −b + pierwiastek z Δ przez 2a: pierwiastki z delty się znoszą i zostaje −2b przez 2a. Przy mnożeniu dostajesz b² − Δ przez 4a² = 4ac przez 4a² = c przez a.
- Dane: x² − 5x + 3 = 0, Δ = 25 − 12 = 13 > 0. Odpowiedź: x₁ + x₂ = 5, x₁ · x₂ = 3.
- Równanie o danych pierwiastkach 2 i −3: suma −1, iloczyn −6, więc x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = x² + x − 6 = 0.
2Wyrażenia symetryczne
- Wyrażenie jest symetryczne, gdy zamiana x₁ z x₂ go nie zmienia. Zapisz je przez sumę S = x₁ + x₂ i iloczyn P = x₁x₂.
| Wyrażenie | Przez S i P |
|---|---|
| x₁² + x₂² | S² − 2P |
| (x₁ − x₂)² | S² − 4P |
| 1 przez x₁ + 1 przez x₂ | S przez P |
| x₁³ + x₂³ | S³ − 3PS |
- Dla x² − 5x + 3 = 0 (S = 5, P = 3): x₁² + x₂² = 25 − 6 = 19, 1 przez x₁ + 1 przez x₂ = 5 przez 3, (x₁ − x₂)² = 25 − 12 = 13, x₁³ + x₂³ = 125 − 45 = 80.
Suma pierwiastków równania 2x² − 6x + 1 = 0 wynosi
x₁ + x₂ = −b przez a = 6 przez 2 = 3. Δ = 28 > 0, więc pierwiastki istnieją.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Znaki pierwiastków
- Dwa dodatnie: Δ ≥ 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ > 0. Dwa ujemne: Δ ≥ 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ < 0.
- Różnych znaków: x₁x₂ < 0 (wtedy Δ > 0 spełnione samo, bo ac < 0).
Użycie wzorów Viète'a bez sprawdzenia Δ. Dla x² + x + 1 = 0 wychodzi suma −1 i iloczyn 1, ale Δ = −3, więc rzeczywistych pierwiastków nie ma.
✎Ściąga: Wzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastków
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Jeśli x₁ i x₂ są pierwiastkami równania ax² + bx + c = 0 (Δ ≥ 0), to x₁ + x₂ = −b przez a oraz x₁ · x₂ = c przez a. Litery a, b, c to współczynniki równania.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Iloczyn pierwiastków równania x² − 7x + 10 = 0 wynosi
- A7
- B10
- C−7
- D−10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 10 – x₁ · x₂ = c przez a = 10.
Suma pierwiastków równania 2x² − 6x + 1 = 0 wynosi
- A1 przez 2
- B3
- C6
- D−3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 3 – x₁ + x₂ = −b przez a = 6 przez 2 = 3. Δ = 28 > 0, więc pierwiastki istnieją.
Równanie kwadratowe o pierwiastkach 2 i −3 (a = 1) to
- Ax² − x − 6 = 0
- Bx² + x − 6 = 0
- Cx² − 5x − 6 = 0
- Dx² + x + 6 = 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x² + x − 6 = 0 – Suma −1, iloczyn −6, więc x² − (−1)x + (−6).
Dla x² − 5x + 3 = 0 wartość x₁² + x₂² wynosi
- A13
- B19
- C31
- D25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 19 – (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 6 = 19.
Dla x² − 5x + 3 = 0 wartość 1 przez x₁ + 1 przez x₂ wynosi
- A5 przez 3
- B15
- C3 przez 5
- D5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 5 przez 3 – x₁ + x₂ przez x₁x₂ = 5 przez 3.
Dla x² − 5x + 3 = 0 wartość (x₁ − x₂)² wynosi
- A7
- B13
- C25
- D19
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 13 – (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 25 − 12 = 13.
Równanie x² − 3x + m = 0 ma pierwiastki różnych znaków, gdy
- Am > 0
- B0 < m < 9 przez 4
- Cm = 0
- Dm < 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: m < 0 – Iloczyn x₁x₂ = m ma być ujemny.
Co jest nie tak ze stosowaniem wzorów Viète'a do x² + x + 1 = 0?
- AWspółczynnik a jest za mały
- BSuma wynosi 1
- CNic, wzory działają zawsze
- DΔ < 0, więc nie ma rzeczywistych pierwiastków
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Δ < 0, więc nie ma rzeczywistych pierwiastków – Wzory Viète'a opisują pierwiastki rzeczywiste, a tu Δ = −3.
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.