1Równanie kwadratowe
- Równanie ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0, a litery a, b, c to stałe współczynniki. O liczbie rozwiązań decyduje Δ = b² − 4ac.
- Δ > 0: dwa rozwiązania, x₁ = −b − pierwiastek z Δ przez 2a i x₂ = −b + pierwiastek z Δ przez 2a.
- Δ = 0: jedno rozwiązanie, x₀ = −b przez 2a. Δ < 0: brak rozwiązań rzeczywistych.
- Przykład. Dane: 2x² − 3x − 2 = 0, czyli a = 2, b = −3, c = −2.
- Obliczenia: Δ = 9 + 16 = 25, więc pierwiastek z Δ = 5.
- Odpowiedź: x₁ = 3 − 5 przez 4 = −1 przez 2, x₂ = 3 + 5 przez 4 = 2.
- Skąd te wzory? Z postaci kanonicznej: ax² + bx + c = a((x + b przez 2a)² − Δ przez 4a²). Zero daje (x + b przez 2a)² = Δ przez 4a². Kwadrat nie bywa ujemny, więc przy Δ < 0 rozwiązań brak, a przy Δ ≥ 0 mamy x + b przez 2a = ± pierwiastek z Δ przez 2a.
- Równania niepełne bez delty: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0, np. 3x² + 6x = 0 daje x = 0 lub x = −2. Gdy b = 0: x² = −c przez a.
2Nierówność kwadratowa
- Trzy kroki: (1) policz miejsca zerowe, (2) naszkicuj parabolę z dobrym kierunkiem ramion, (3) odczytaj, gdzie wykres jest nad osią OX (> 0) albo pod nią (< 0).
- Przykład: x² − 3x − 4 > 0. Δ = 25, zera −1 i 4, ramiona w górę. Wykres jest nad osią na zewnątrz zer: x ∈ (−∞, −1) ∪ (4, +∞).
- Dla < 0 odpowiedź to x ∈ (−1, 4). Przy ≥ i ≤ nawiasy przy zerach są domknięte.
Zbiorem rozwiązań nierówności x² − 3x − 4 < 0 jest
Zera to −1 i 4, ramiona w górę, więc wykres leży pod osią między nimi (bez końców, bo nierówność jest ostra).
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Przypadki szczególne i układy
- Δ = 0: x² − 6x + 9 ≤ 0 spełnia tylko x = 3 (parabola dotyka osi).
- Δ < 0 i ramiona w górę: x² + 2x + 5 > 0 dla każdego x ∈ R, a x² + 2x + 5 < 0 nie ma rozwiązań.
- Układ nierówności to część wspólna rozwiązań. x² − 4 < 0 daje (−2, 2), x − 1 > 0 daje (1, +∞), więc razem x ∈ (1, 2).
Ramiona w górę: „> 0” to „na zewnątrz zer”, „< 0” to „między zerami”. Przy ramionach w dół jest odwrotnie.
Zapis „x < −1 i x > 4”. Taka liczba nie istnieje. Poprawnie: x < −1 lub x > 4, czyli suma przedziałów.
✎Ściąga: Równania i nierówności kwadratowe
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Ramiona w górę: „> 0” to „na zewnątrz zer”, „< 0” to „między zerami”. Przy ramionach w dół jest odwrotnie.
- Δ > 0: dwa rozwiązania, x₁ = −b − pierwiastek z Δ przez 2a i x₂ = −b + pierwiastek z Δ przez 2a.
- Δ = 0: jedno rozwiązanie, x₀ = −b przez 2a. Δ < 0: brak rozwiązań rzeczywistych.
- Skąd te wzory? Z postaci kanonicznej: ax² + bx + c = a((x + b przez 2a)² − Δ przez 4a²). Zero daje (x + b przez 2a)² = Δ przez 4a². Kwadrat nie bywa ujemny, więc przy Δ < 0 rozwiązań brak, a przy Δ ≥ 0 mamy x + b przez 2a = ± pierwiastek z Δ przez 2a.
- Równania niepełne bez delty: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0, np. 3x² + 6x = 0 daje x = 0 lub x = −2. Gdy b = 0: x² = −c przez a.
- Δ = 0: x² − 6x + 9 ≤ 0 spełnia tylko x = 3 (parabola dotyka osi).
- Δ < 0 i ramiona w górę: x² + 2x + 5 > 0 dla każdego x ∈ R, a x² + 2x + 5 < 0 nie ma rozwiązań.
- Układ nierówności to część wspólna rozwiązań. x² − 4 < 0 daje (−2, 2), x − 1 > 0 daje (1, +∞), więc razem x ∈ (1, 2).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Rozwiązaniami równania 2x² − 5x + 2 = 0 są
- A1 przez 2 i 2
- B−1 przez 2 i −2
- C1 i 4
- Dtylko 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 przez 2 i 2 – Δ = 25 − 16 = 9, x = 5 ± 3 przez 4, czyli 1 przez 2 lub 2.
Równanie x² + 4 = 0
- Ama jedno rozwiązanie x = 2
- Bnie ma rozwiązań rzeczywistych
- Cma dwa rozwiązania ±2
- Dma dwa rozwiązania ±4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: nie ma rozwiązań rzeczywistych – x² = −4, a kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny.
Rozwiązaniami równania 3x² + 6x = 0 są
- A−2 i 2
- B0 i −2
- Ctylko −2
- D0 i 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0 i −2 – Wyłączamy x: x(3x + 6) = 0, więc x = 0 lub x = −2. Dzielenie przez x zgubiłoby rozwiązanie 0.
Zbiorem rozwiązań nierówności x² − 3x − 4 < 0 jest
- A(−∞, −1) ∪ (4, +∞)
- B(−4, 1)
- C⟨−1, 4⟩
- D(−1, 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (−1, 4) – Zera to −1 i 4, ramiona w górę, więc wykres leży pod osią między nimi (bez końców, bo nierówność jest ostra).
Zbiorem rozwiązań nierówności x² − 6x + 9 ≤ 0 jest
- AR
- B{3}
- C⟨−3, 3⟩
- Dzbiór pusty
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: {3} – x² − 6x + 9 = (x − 3)², co jest nieujemne i równe 0 tylko dla x = 3.
Nierówność x² + 2x + 5 > 0 jest spełniona przez
- Atylko x > −1
- Btylko x ≠ −1
- Ckażdą liczbę rzeczywistą
- Dżadną liczbę
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: każdą liczbę rzeczywistą – Δ = 4 − 20 < 0 i ramiona w górę, więc cały wykres leży nad osią OX.
Ile liczb całkowitych spełnia nierówność x² − 5x + 4 ≤ 0?
- A2
- B3
- C4
- D5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 4 – Zera to 1 i 4, a nierówność nieostra daje przedział ⟨1, 4⟩, czyli liczby 1, 2, 3, 4.
Układ nierówności x² − 4 < 0 i x − 1 > 0 ma rozwiązanie
- Ax ∈ (−2, 1)
- Bx ∈ (−2, 2)
- Cx ∈ (1, 2)
- Dx ∈ (1, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x ∈ (1, 2) – Część wspólna przedziałów (−2, 2) i (1, +∞) to (1, 2).
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.