1Trzy postacie
| Postać | Wzór | Co widać od razu |
|---|---|---|
| ogólna | f(x) = ax² + bx + c | punkt (0, c) na osi OY |
| kanoniczna | f(x) = a(x − p)² + q | wierzchołek W(p, q) |
| iloczynowa | f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) | miejsca zerowe x₁ i x₂ |
- Litera a jest we wszystkich postaciach taka sama: to ona mówi, w którą stronę idą ramiona i jak szeroka jest parabola.
- p, q to współrzędne wierzchołka, a x₁, x₂ to miejsca zerowe, czyli argumenty, dla których f(x) = 0.
- Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy Δ ≥ 0. Dla Δ = 0 wygląda tak: f(x) = a(x − x₀)². Dla Δ < 0 jej nie ma.
2Wyznaczanie wzoru: wierzchołek i punkt
- Dane: W(2, −3) i punkt (4, 5) na wykresie.
- Wzór: f(x) = a(x − 2)² − 3. Za x i y wstawiamy współrzędne punktu.
- Obliczenia: 5 = a · (4 − 2)² − 3, czyli 5 = 4a − 3, stąd a = 2.
- Odpowiedź: f(x) = 2(x − 2)² − 3. Sprawdzenie: f(4) = 2 · 4 − 3 = 5.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej nie istnieje, gdy
Bez miejsc zerowych (Δ < 0) nie ma czynników x − x₁ i x − x₂.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Wyznaczanie wzoru: miejsca zerowe i punkt
- Dane: zera −1 i 3, punkt (0, −6).
- Wzór: f(x) = a(x + 1)(x − 3).
- Obliczenia: −6 = a · (0 + 1)(0 − 3) = −3a, stąd a = 2.
- Odpowiedź: f(x) = 2(x + 1)(x − 3) = 2x² − 4x − 6.
4Zamiana postaci
- Z kanonicznej na ogólną: wymnóż nawias. 2(x − 2)² − 3 = 2(x² − 4x + 4) − 3 = 2x² − 8x + 5.
- Z ogólnej na kanoniczną: policz p = −b przez 2a oraz q = f(p).
Wierzchołek znasz → postać kanoniczna. Miejsca zerowe znasz → iloczynowa. Punkt przecięcia z OY znasz → ogólna (c).
Odczytanie z f(x) = (x + 3)² − 1 wierzchołka (3, −1). Nawias (x + 3) zeruje się dla x = −3, więc W(−3, −1).
Funkcja ma miejsca zerowe 1 i 5 i przechodzi przez punkt (3, −8). Jej wzór to
−8 = a · 2 · (−2) = −4a, więc a = 2.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Postacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoru
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Wierzchołek znasz → postać kanoniczna. Miejsca zerowe znasz → iloczynowa. Punkt przecięcia z OY znasz → ogólna (c).
- p, q to współrzędne wierzchołka, a x₁, x₂ to miejsca zerowe, czyli argumenty, dla których f(x) = 0.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wierzchołek paraboli f(x) = 2(x − 3)² + 5 to
- A(2, 5)
- B(3, −5)
- C(−3, 5)
- D(3, 5)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (3, 5) – Postać a(x − p)² + q daje p = 3 i q = 5.
Miejsca zerowe funkcji f(x) = −(x − 1)(x + 4) to
- A−1 i −4
- B1 i 4
- C1 i −4
- D−1 i 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 1 i −4 – Czynnik x − 1 zeruje się dla x = 1, a x + 4 dla x = −4.
Wykres funkcji f(x) = x² − 5x + 7 przecina oś OY w punkcie
- A(7, 0)
- B(0, −5)
- C(0, 7)
- D(0, 0)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (0, 7) – f(0) = c = 7.
Parabola ma wierzchołek W(2, 1) i przechodzi przez punkt (0, 5). Jej wzór to
- Af(x) = (x − 2)² + 1
- Bf(x) = (x + 2)² + 1
- Cf(x) = 4(x − 2)² + 1
- Df(x) = (x − 2)² + 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: f(x) = (x − 2)² + 1 – 5 = a · (0 − 2)² + 1 daje 4a = 4, więc a = 1.
Funkcja ma miejsca zerowe 1 i 5 i przechodzi przez punkt (3, −8). Jej wzór to
- Af(x) = −2(x − 1)(x − 5)
- Bf(x) = (x − 1)(x − 5) − 8
- Cf(x) = 2(x − 1)(x − 5)
- Df(x) = 2(x + 1)(x + 5)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: f(x) = 2(x − 1)(x − 5) – −8 = a · 2 · (−2) = −4a, więc a = 2.
Funkcja f(x) = (x + 1)² − 4 w postaci ogólnej to
- Ax² + 2x − 3
- Bx² − 2x − 3
- Cx² + 2x − 4
- Dx² − 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: x² + 2x − 3 – (x + 1)² = x² + 2x + 1, a po odjęciu 4 zostaje x² + 2x − 3.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej nie istnieje, gdy
- Aa < 0
- BΔ < 0
- CΔ > 0
- DΔ = 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Δ < 0 – Bez miejsc zerowych (Δ < 0) nie ma czynników x − x₁ i x − x₂.
Funkcja f(x) = x² + 4x + 4 w postaci iloczynowej to
- A(x + 4)(x + 1)
- B(x − 2)(x + 2)
- C(x + 2)²
- D(x − 2)²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (x + 2)² – Δ = 16 − 16 = 0, jedno miejsce zerowe x₀ = −2, więc f(x) = (x + 2)².
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.