1Ile rozwiązań
- Dla x² − 2x + m = 0 mamy Δ = 4 − 4m: dwa rozwiązania dla m < 1, jedno dla m = 1, żadnego dla m > 1.
- Parametr przy x²: osobno a = 0. Dane: (m − 1)x² + 2x + 1 = 0. Dla m = 1 jest 2x + 1 = 0 (jedno rozwiązanie). Dla m ≠ 1: Δ = 4 − 4(m − 1) = 8 − 4m, więc dwa rozwiązania dla m < 2 (i m ≠ 1), jedno (podwójne) dla m = 2, brak dla m > 2.
- Nierówność liniowa mx > 2: dla m > 0 jest x > 2 przez m, dla m < 0 znak się odwraca i x < 2 przez m, a dla m = 0 (0 > 2) brak rozwiązań.
2Znaki pierwiastków
Dwa różne dodatnie: Δ > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ > 0. Dwa różne ujemne: Δ > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ < 0. Różnych znaków: x₁x₂ < 0.
- Dane: x² − 4x + m = 0 ma dwa dodatnie pierwiastki. Obliczenia: Δ = 16 − 4m > 0 daje m < 4; iloczyn m > 0; suma 4 > 0 (zawsze). Odpowiedź: m ∈ (0, 4).
- Oba pierwiastki większe od 1 (x² − 6x + m = 0): przesuń je o 1. Warunki: Δ = 36 − 4m > 0, (x₁ − 1)(x₂ − 1) = x₁x₂ − (x₁ + x₂) + 1 = m − 5 > 0, (x₁ − 1) + (x₂ − 1) = 4 > 0. Odpowiedź: m ∈ (5, 9).
Równanie x² − 6x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki większe od 1 dla
Δ = 36 − 4m > 0 daje m < 9, (x₁ − 1)(x₂ − 1) = m − 5 > 0 daje m > 5, a (x₁ − 1) + (x₂ − 1) = 4 > 0 zawsze.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Nierówność dla każdego x
- x² + mx + 4 > 0 dla każdego x ∈ ℝ, gdy a > 0 (tak jest) i Δ < 0. Δ = m² − 16 < 0, czyli m ∈ (−4, 4).
4Warunek z wyrażeniem symetrycznym
- Dane: x² − mx + 2 = 0, szukamy m takiego, że x₁² + x₂² = 12. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = m² − 4 = 12, więc m = 4 lub m = −4.
- Sprawdzenie: Δ = m² − 8 = 8 > 0, więc oba m są dobre.
Pominięcie przypadku a = 0 albo brak sprawdzenia Δ na końcu.
Nierówność x² + mx + 4 > 0 jest spełniona dla każdego x, gdy
Trzeba Δ = m² − 16 < 0.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Równania i nierówności kwadratowe z parametrem
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Dwa różne dodatnie: Δ > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ > 0. Dwa różne ujemne: Δ > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ < 0. Różnych znaków: x₁x₂ < 0.
- Oba pierwiastki większe od 1 (x² − 6x + m = 0): przesuń je o 1. Warunki: Δ = 36 − 4m > 0, (x₁ − 1)(x₂ − 1) = x₁x₂ − (x₁ + x₂) + 1 = m − 5 > 0, (x₁ − 1) + (x₂ − 1) = 4 > 0. Odpowiedź: m ∈ (5, 9).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Równanie x² − 2x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania, gdy
- Am < 1
- Bm > 1
- Cm = 1
- Dm < 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: m < 1 – Δ = 4 − 4m > 0, czyli m < 1.
Równanie x² − 4x + m = 0 ma dwa różne dodatnie pierwiastki dla
- Am ∈ (4, +∞)
- Bm > 0
- Cm ∈ (0, 4)
- Dm ∈ (−∞, 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: m ∈ (0, 4) – Δ = 16 − 4m > 0, x₁x₂ = m > 0, suma 4 > 0.
Równanie x² − 6x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki większe od 1 dla
- Am ∈ (5, 9)
- Bm ∈ (5, +∞)
- Cm ∈ (−∞, 9)
- Dm ∈ (0, 9)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: m ∈ (5, 9) – Δ = 36 − 4m > 0 daje m < 9, (x₁ − 1)(x₂ − 1) = m − 5 > 0 daje m > 5, a (x₁ − 1) + (x₂ − 1) = 4 > 0 zawsze.
Nierówność x² + mx + 4 > 0 jest spełniona dla każdego x, gdy
- Am > 4
- Bm ∈ ⟨−4, 4⟩
- Cm ∈ (−4, 4)
- Dm ∈ (−∞, −4) ∪ (4, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: m ∈ (−4, 4) – Trzeba Δ = m² − 16 < 0.
Dla jakiej wartości m równanie (m − 1)x² + 2x + 1 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie?
- Am = 0
- Bm = 1 lub m = 2
- Ctylko m = 1
- Dtylko m = 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: m = 1 lub m = 2 – Dla m = 1 jest równanie liniowe (jedno rozwiązanie), a dla m = 2 mamy Δ = 0.
Dla x² − mx + 2 = 0 suma kwadratów pierwiastków równa się
- Am² − 4
- Bm² − 2
- Cm − 4
- Dm² + 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: m² − 4 – (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = m² − 4.
Równanie x² − mx + 2 = 0 spełnia warunek x₁² + x₂² = 12 dla
- Atylko m = 4
- Bm = ±2
- Cm = 16
- Dm = 4 lub m = −4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: m = 4 lub m = −4 – Z m² − 4 = 12 mamy m² = 16, a Δ = m² − 8 = 8 ≥ 0.
Pierwszy krok przy równaniu (m − 1)x² + 2x + 1 = 0 to
- Arozpatrzenie przypadku m = 1
- Bpodstawienie m = 0
- Cobliczenie Δ
- Dpodzielenie przez m − 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: rozpatrzenie przypadku m = 1 – Dla m = 1 równanie przestaje być kwadratowe, więc a = 0 sprawdzasz osobno.
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.