1Co to za funkcja
- Funkcja kwadratowa to f(x) = ax² + bx + c. Tu x to argument, a litery a, b, c to stałe liczby (współczynniki). Warunek a ≠ 0 jest ważny: bez niego x² by zniknęło i zostałaby zwykła prosta.
- Jej wykres to parabola – krzywa symetryczna względem pionowej prostej.
- Najprostsza jest y = ax²: wierzchołek w punkcie (0, 0). Dla a > 0 ramiona idą w górę, dla a < 0 w dół. Im większe |a|, tym parabola węższa.
2Wierzchołek i oś symetrii
- Wierzchołek W(p, q) to najniższy punkt paraboli (gdy a > 0) albo najwyższy (gdy a < 0). Literą p oznaczamy jego współrzędną poziomą (x), a q pionową (y).
- Wzory: p = −b przez 2a, q = −Δ przez 4a, gdzie Δ = b² − 4ac (delta, wyróżnik). Drugi sposób na q: policz f(p).
- Oś symetrii to pionowa prosta x = p. Punkty o tej samej wysokości leżą po obu jej stronach w tej samej odległości.
- Przykład. Dane: f(x) = x² − 4x + 1, czyli a = 1, b = −4, c = 1.
- p = −(−4) przez 2 · 1 = 2. Δ = 16 − 4 = 12, więc q = −12 przez 4 = −3.
- Odpowiedź: W(2, −3), oś symetrii x = 2.
Osią symetrii paraboli y = −2x² + 12x − 7 jest prosta
p = −12 przez 2 · (−2) = 3, więc oś to x = 3.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Przesuwanie wykresu
- Wykres y = f(x − s) + t powstaje z wykresu y = f(x) przez przesunięcie o s jednostek w poziomie (w prawo, gdy s > 0) i o t jednostek w pionie (w górę, gdy t > 0).
- Stąd y = a(x − p)² + q to parabola y = ax² przesunięta o wektor [p, q]. Dlatego wierzchołek ma współrzędne (p, q).
- Przykład: y = (x + 1)² − 2 ma wierzchołek W(−1, −2), czyli przesunięcie [−1, −2].
Wzór na p ma minus: p = −b przez 2a. Minus w nawiasie (x − p) też „odwraca” kierunek: (x − 3)² przesuwa w prawo.
Liczenie p = b przez 2a bez minusa albo myślenie, że (x + 1)² przesuwa parabolę w prawo. Sprawdź, jaki x zeruje nawias: x = −1, więc w lewo.
✎Ściąga: Wykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwanie
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Wzór na p ma minus: p = −b przez 2a. Minus w nawiasie (x − p) też „odwraca” kierunek: (x − 3)² przesuwa w prawo.
- Funkcja kwadratowa to f(x) = ax² + bx + c. Tu x to argument, a litery a, b, c to stałe liczby (współczynniki). Warunek a ≠ 0 jest ważny: bez niego x² by zniknęło i zostałaby zwykła prosta.
- Wierzchołek W(p, q) to najniższy punkt paraboli (gdy a > 0) albo najwyższy (gdy a < 0). Literą p oznaczamy jego współrzędną poziomą (x), a q pionową (y).
- Oś symetrii to pionowa prosta x = p. Punkty o tej samej wysokości leżą po obu jej stronach w tej samej odległości.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wierzchołek paraboli y = x² − 8x + 10 ma współrzędne
- A(4, 6)
- B(8, 10)
- C(4, −6)
- D(−4, −6)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (4, −6) – p = 8 przez 2 = 4, a q = f(4) = 16 − 32 + 10 = −6.
Osią symetrii paraboli y = −2x² + 12x − 7 jest prosta
- Ax = 6
- Bx = −3
- Cx = 3
- Dx = 12
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x = 3 – p = −12 przez 2 · (−2) = 3, więc oś to x = 3.
Parabola y = ax² ma ramiona skierowane w dół i jest węższa niż parabola y = x². Które a pasuje?
- Aa = 1 przez 3
- Ba = 3
- Ca = −1 przez 3
- Da = −3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: a = −3 – Ramiona w dół wymagają a < 0, a węższa parabola oznacza |a| > 1.
Wykres y = (x − 3)² + 1 powstaje z wykresu y = x² przez przesunięcie o wektor
- A[−3, −1]
- B[3, 1]
- C[−3, 1]
- D[3, −1]
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: [3, 1] – W postaci a(x − p)² + q mamy p = 3 i q = 1, czyli 3 w prawo i 1 w górę.
Wierzchołek paraboli y = −x² + 4x ma współrzędne
- A(−2, 4)
- B(4, 0)
- C(2, −4)
- D(2, 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (2, 4) – p = −4 przez 2 · (−1) = 2, q = −4 + 8 = 4.
Wierzchołek paraboli y = (x + 2)² − 5 to punkt
- A(2, −5)
- B(2, 5)
- C(−2, −5)
- D(−2, 5)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (−2, −5) – Nawias (x + 2) zeruje się dla x = −2, a q = −5.
Które wyrażenie NIE opisuje funkcji kwadratowej?
- Af(x) = x(x − 5)
- Bf(x) = 7 − x²
- Cf(x) = (x + 1)² − x²
- Df(x) = 2(x − 1)²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: f(x) = (x + 1)² − x² – Po rozwinięciu (x + 1)² − x² = 2x + 1, wyraz x² znika, więc to funkcja liniowa.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = 2x² − 4x + 5 jest równa
- A3
- B−3
- C1
- D5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3 – Ramiona w górę, p = 1, więc najmniejsza wartość to f(1) = 2 − 4 + 5 = 3.
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.