1Równanie dwukwadratowe
- Ma postać ax⁴ + bx² + c = 0, gdzie a ≠ 0. Podstawiamy t = x². Pamiętaj: t ≥ 0, bo kwadrat nie bywa ujemny.
- Rozwiązujemy at² + bt + c = 0. Ujemne t odrzucamy, t = 0 daje x = 0, a każde t > 0 daje dwa rozwiązania x = ±pierwiastek z t.
- Dane: x⁴ − 5x² + 4 = 0. Podstawienie t = x² (t ≥ 0) daje t² − 5t + 4 = 0.
- Obliczenia: Δ = 25 − 16 = 9, t = 5 ± 3 przez 2, czyli t = 1 lub t = 4.
- Powrót do x: x² = 1 lub x² = 4. Odpowiedź: x ∈ {−2, −1, 1, 2}.
- Uwaga na ujemne t: x⁴ + x² − 6 = 0 daje t = 2 lub t = −3, więc tylko x = ±pierwiastek z 2. Z kolei x⁴ + 3x² + 2 = 0 daje t = −1 lub t = −2 – brak rozwiązań.
2Układ: prosta i parabola
- Z równania liniowego wyznacz y i wstaw do kwadratowego. Przykład: y = x + 1 oraz y = x² − 1. Mamy x² − 1 = x + 1, czyli x² − x − 2 = 0, stąd x = 2 lub x = −1.
- Wracamy do y = x + 1: punkty wspólne to (2, 3) i (−1, 0).
- Liczba rozwiązań zależy od Δ: dwa punkty (Δ > 0), jeden (Δ = 0, prosta styczna do paraboli), brak (Δ < 0). Np. y = 2x − 1 i y = x² daje x² − 2x + 1 = 0, czyli x = 1 i jeden punkt (1, 1).
Prosta y = 2x − 1 i parabola y = x² mają
x² = 2x − 1 daje (x − 1)² = 0, czyli x = 1 i jeden punkt (1, 1): prosta jest styczna do paraboli.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Układ z sumą i iloczynem
- x + y = 5 oraz xy = 6. Z pierwszego y = 5 − x, więc x(5 − x) = 6, czyli x² − 5x + 6 = 0.
- Stąd x = 2, y = 3 albo x = 3, y = 2. Odpowiedź: (2, 3) lub (3, 2).
- Układy z równaniem okręgu to już geometria analityczna, którą ćwiczysz w klasie III.
Podstawienie t = x² działa tylko dla równań, w których występują same parzyste potęgi (x⁴ i x²).
Zapisanie x = ±pierwiastek z −3, czyli zostawienie ujemnego t. Po podstawieniu t = x² musi być t ≥ 0.
✎Ściąga: Równania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowych
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Podstawienie t = x² działa tylko dla równań, w których występują same parzyste potęgi (x⁴ i x²).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie x⁴ − 5x² + 4 = 0?
- A3
- B4
- C1
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 4 – t = 1 lub t = 4, a każde t > 0 daje dwa x: ±1 i ±2.
Rozwiązaniami równania x⁴ + x² − 6 = 0 są
- A√2, −√2, √3 i −√3
- B2, −2, 3 i −3
- C2 i −3
- D√2 i −√2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: √2 i −√2 – t² + t − 6 = 0 daje t = 2 lub t = −3. Ujemne t odrzucamy, a z t = 2 mamy x = ±√2.
Równanie x⁴ + 3x² + 2 = 0
- Anie ma rozwiązań rzeczywistych
- Bma cztery rozwiązania
- Cma dwa rozwiązania
- Dma jedno rozwiązanie
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: nie ma rozwiązań rzeczywistych – t² + 3t + 2 = 0 daje t = −1 i t = −2, a t = x² nie może być ujemne.
Rozwiązaniami równania x⁴ − 13x² + 36 = 0 są
- A2 i 3
- B−3 i 3
- C−3, −2, 2, 3
- D4 i 9
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: −3, −2, 2, 3 – t² − 13t + 36 = 0 daje t = 4 lub t = 9, więc x = ±2 lub x = ±3.
Punkty wspólne prostej y = x + 1 i paraboli y = x² − 1 to
- A(−1, 0) i (1, 2)
- B(2, 3) i (−2, −1)
- Ctylko (2, 3)
- D(−1, 0) i (2, 3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (−1, 0) i (2, 3) – Z x² − x − 2 = 0 mamy x = −1 lub x = 2, a y liczymy z równania prostej.
Prosta y = 2x − 1 i parabola y = x² mają
- Abrak punktów wspólnych
- Bjeden punkt wspólny
- Ctrzy punkty wspólne
- Ddwa punkty wspólne
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: jeden punkt wspólny – x² = 2x − 1 daje (x − 1)² = 0, czyli x = 1 i jeden punkt (1, 1): prosta jest styczna do paraboli.
Rozwiązaniami układu x + y = 5, xy = 6 są pary
- A(2, 3) i (3, 2)
- B(−2, −3) i (−3, −2)
- Ctylko (2, 3)
- D(1, 4) i (4, 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (2, 3) i (3, 2) – x i y są pierwiastkami równania t² − 5t + 6 = 0, czyli liczbami 2 i 3 w dowolnej kolejności.
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie x⁴ − 16 = 0?
- A4
- B0
- C2
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2 – t² = 16 daje t = 4 lub t = −4. Odrzucamy −4, a z t = 4 mamy x = ±2.
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.