1Wykres y = |f(x)|
- |a| to odległość liczby a od zera: |a| = a dla a ≥ 0 i |a| = −a dla a < 0. Wynik nigdy nie jest ujemny.
- Wykres y = |f(x)|: część wykresu f nad osią OX zostawiasz, a część pod osią odbijasz symetrycznie względem OX.
- Przykład: parabola y = x² − 4 ma zera ±2 i między nimi leży pod osią. Po odbiciu dostajemy y = |x² − 4| z „górką” w punkcie (0, 4).
2Równania i nierówności z modułem
- Dane: |x² − 4| = 3. Dwa przypadki: x² − 4 = 3 lub x² − 4 = −3.
- Obliczenia: x² = 7, więc x = ±pierwiastek z 7; x² = 1, więc x = ±1.
- Odpowiedź: x ∈ {−pierwiastek z 7, −1, 1, pierwiastek z 7} – cztery rozwiązania.
- Dla sumy modułów dzielimy oś na przedziały. |x − 1| + |x + 2| ≤ 5: wyrażenia zerują się w x = 1 i x = −2.
- Dla x < −2 mamy −(x − 1) − (x + 2) = −2x − 1 ≤ 5, stąd x ≥ −3, czyli ⟨−3, −2).
- Dla −2 ≤ x < 1 mamy −(x − 1) + (x + 2) = 3 ≤ 5, więc spełnia cały przedział ⟨−2, 1).
- Dla x ≥ 1 mamy 2x + 1 ≤ 5, stąd x ≤ 2, czyli ⟨1, 2⟩. Odpowiedź: x ∈ ⟨−3, 2⟩.
Wykres y = |f(x)| powstaje z wykresu y = f(x) przez
Część nad osią zostaje, a część pod osią OX jest odbijana nad nią.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Ile rozwiązań ma |f(x)| = m
- Rysujesz poziomą prostą y = m i liczysz jej punkty wspólne z wykresem y = |f(x)|. Litera m to ustalona liczba, tzw. parametr.
- Dla |x² − 4| = m: m < 0 brak, m = 0 dwa, 0 < m < 4 cztery, m = 4 trzy, m > 4 dwa rozwiązania.
Dla m < 0 równanie |f(x)| = m nie ma rozwiązań, bo moduł nie bywa ujemny.
Rozwiązanie |x² − 4| = 3 tylko jako x² − 4 = 3. Drugi przypadek, x² − 4 = −3, daje kolejne dwa rozwiązania.
✎Ściąga: Wartość bezwzględna w funkcji kwadratowej
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Dla m < 0 równanie |f(x)| = m nie ma rozwiązań, bo moduł nie bywa ujemny.
- |a| to odległość liczby a od zera: |a| = a dla a ≥ 0 i |a| = −a dla a < 0. Wynik nigdy nie jest ujemny.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Ile rozwiązań ma równanie |x² − 4| = 3?
- A4
- B2
- C3
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 4 – x² − 4 = 3 daje x = ±√7, a x² − 4 = −3 daje x = ±1.
Ile rozwiązań ma równanie |x² − 4| = 4?
- A1
- B2
- C4
- D3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 3 – x² − 4 = 4 daje x = ±2√2, a x² − 4 = −4 daje x = 0.
Ile rozwiązań ma równanie |x² − 4| = 7?
- A4
- B3
- C0
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2 – x² = 11 daje dwa rozwiązania, a x² = −3 żadnego.
Równanie |x² − 4| = −1
- Ama cztery rozwiązania
- Bma dwa rozwiązania
- Cma jedno rozwiązanie
- Dnie ma rozwiązań
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: nie ma rozwiązań – Wartość bezwzględna nie jest ujemna.
Jaki jest najwyższy punkt wykresu y = |x² − 4| między jego zerami −2 i 2?
- A(0, −4)
- B(0, 4)
- C(0, 0)
- D(2, 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (0, 4) – Wierzchołek (0, −4) paraboli x² − 4 po odbiciu względem OX trafia do (0, 4).
Wykres y = |f(x)| powstaje z wykresu y = f(x) przez
- Aodbicie całego wykresu względem osi OY
- Bprzesunięcie wykresu w górę o |f(0)|
- Codbicie części leżącej pod osią OX względem tej osi
- Dodbicie całego wykresu względem osi OX
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: odbicie części leżącej pod osią OX względem tej osi – Część nad osią zostaje, a część pod osią OX jest odbijana nad nią.
Rozwiązaniem nierówności |x − 1| + |x + 2| ≤ 5 jest
- A⟨−3, 2⟩
- B(−∞, 2⟩
- C⟨−3, 1⟩
- D⟨−2, 1⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ⟨−3, 2⟩ – Po rozbiciu na trzy przedziały dostajemy ⟨−3, −2), ⟨−2, 1) i ⟨1, 2⟩, czyli razem ⟨−3, 2⟩.
Dla jakiego m równanie |x² − 1| = m ma dokładnie trzy rozwiązania?
- Am = −1
- Bm = 2
- Cm = 0
- Dm = 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: m = 1 – Dla m = 1: x² − 1 = 1 daje x = ±√2, a x² − 1 = −1 daje x = 0. Razem trzy.
Cały dział „Funkcja kwadratowa”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.