1Granica małych prędkości
- Oznaczenia: v — prędkość [m/s]; c — prędkość światła [m/s]; γ — współczynnik Lorentza; Ek — energia kinetyczna [J]; m — masa [kg]; p — pęd [kg·m/s].
- Dla v ≪ c wystarczy przybliżenie γ ≈ 1 + v2 przez 2c2. Wtedy (γ − 1)mc² ≈ v2 przez 2c2 · mc², czyli:
Ek ≈ mv2 przez 2 oraz p ≈ mv (gdy v ≪ c)
- Wzory klasyczne są więc przypadkiem granicznym wzorów relatywistycznych, a nie osobną fizyką.
2Ile się mylimy
| v/c | (γ − 1)mc² | mv²/2 | stosunek |
|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,00504 mc² | 0,00500 mc² | 1,008 |
| 0,5 | 0,155 mc² | 0,125 mc² | 1,24 |
| 0,9 | 1,29 mc² | 0,405 mc² | 3,2 |
- Przykład 1 – dane: v = 0,1c.
- Wzory: γ = 1 przez pierwiastek z 1 − v2 przez c2; Ek = (γ − 1)mc².
- Obliczenia: γ = 1 przez pierwiastek z 1 − 0,01 ≈ 1,00504, więc Ek ≈ 0,00504 mc²; klasycznie 1 przez 2 · 0,1² · mc² = 0,00500 mc².
- Odpowiedź: różnica ok. 0,8% – w wielu zadaniach wzór klasyczny wystarczy.
- Przykład 2. Samolot, v = 300 m/s, v/c = 10−6: względna poprawka ≈ 3 przez 4(v przez c)² ≈ 7,5·10−13 – zupełnie nieistotna.
- Przykład 3. v = 0,6c, γ = 1,25: Ek = 0,25 mc², a klasycznie 0,5 · 0,36 mc² = 0,18 mc² – wzór klasyczny zaniża energię o ok. 28%.
Wzór klasyczny Ek = mv²/2 jest
Ek = (γ − 1)mc² przechodzi w mv²/2, gdy v ≪ c.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Dodatkowo (poza podstawą)
- Dylatacja czasu: Δt = γΔt₀ (Δt₀ — czas własny, mierzony zegarem spoczywającym względem zdarzeń; Δt — czas w układzie, względem którego zegar się porusza). Skrócenie długości: L = L₀ przez γ (L₀ — długość własna). Dla v = 0,8c γ = 5 przez 3: gdy ruchomy zegar odmierzy 3 lata, obserwator naliczy 5 lat.
„Relatywistyka dotyczy tylko prędkości bliskich c”
Dotyczy każdej prędkości, ale dla v ≪ c poprawki są znikome.
✎Ściąga: Kiedy wystarczy mechanika klasyczna
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Ek ≈ mv2 przez 2 oraz p ≈ mv (gdy v ≪ c)
- Oznaczenia: v — prędkość [m/s]; c — prędkość światła [m/s]; γ — współczynnik Lorentza; Ek — energia kinetyczna [J]; m — masa [kg]; p — pęd [kg·m/s].
- Przykład 1 – dane: v = 0,1c.
- Wzory: γ = 1 przez pierwiastek z 1 − v2 przez c2; Ek = (γ − 1)mc².
- Obliczenia: γ = 1 przez pierwiastek z 1 − 0,01 ≈ 1,00504, więc Ek ≈ 0,00504 mc²; klasycznie 1 przez 2 · 0,1² · mc² = 0,00500 mc².
- Odpowiedź: różnica ok. 0,8% – w wielu zadaniach wzór klasyczny wystarczy.
- Przykład 2. Samolot, v = 300 m/s, v/c = 10−6: względna poprawka ≈ 3 przez 4(v przez c)² ≈ 7,5·10−13 – zupełnie nieistotna.
- Przykład 3. v = 0,6c, γ = 1,25: Ek = 0,25 mc², a klasycznie 0,5 · 0,36 mc² = 0,18 mc² – wzór klasyczny zaniża energię o ok. 28%.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Przybliżenie Ek ≈ mv²/2 jest dobre, gdy
- Amasa jest bardzo duża
- Bv ≈ c
- Cv ≪ c
- Dv = 0,9c
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: v ≪ c – Dla małych prędkości γ ≈ 1 + v²/(2c²), więc (γ − 1)mc² ≈ mv²/2.
Dla v = 0,1c energia kinetyczna relatywistyczna różni się od klasycznej o około
- A80%
- B3 razy
- C0,8%
- D8%
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 0,8% – (γ − 1)mc² = 0,00504 mc², a klasycznie 0,00500 mc² – różnica poniżej 1%.
Dla v = 0,9c wzór klasyczny daje energię kinetyczną
- Aprawie taką samą
- Bok. 3 razy większą
- Cok. 3 razy mniejszą niż relatywistyczna
- Ddokładnie dwa razy mniejszą
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ok. 3 razy mniejszą niż relatywistyczna – Klasycznie 0,405 mc², relatywistycznie 1,29 mc², czyli stosunek ok. 3,2.
Ile wynosi γ dla v = 0,6c?
- A1,6
- B0,8
- C1,36
- D1,25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 1,25 – γ = 1/√(1 − 0,36) = 1/0,8 = 1,25.
Dla samolotu (v = 300 m/s) poprawka relatywistyczna do energii kinetycznej jest
- Arzędu 10%
- Brzędu 1%
- Cdokładnie równa zeru
- Dznikoma, rzędu 10−12
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: znikoma, rzędu 10−12 – v/c = 10−6, a poprawka względna to ok. (3/4)(v/c)² ≈ 7,5·10−13.
Wzór klasyczny Ek = mv²/2 jest
- Adokładniejszy od relatywistycznego
- Bgranicznym przypadkiem wzoru relatywistycznego dla małych prędkości
- Csłuszny tylko dla światła
- Dcałkowicie błędny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: granicznym przypadkiem wzoru relatywistycznego dla małych prędkości – Ek = (γ − 1)mc² przechodzi w mv²/2, gdy v ≪ c.
Przy v → c energia kinetyczna ciała mającego masę
- Adąży do zera
- Bjest stała
- Cdąży do mc²/2
- Drośnie bez ograniczenia
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: rośnie bez ograniczenia – γ → ∞, więc (γ − 1)mc² rośnie nieograniczenie.
(Dodatkowo, poza podstawą) Zegar porusza się względem obserwatora z γ = 5/3 i odmierza 3 lata. Ile lat naliczy obserwator?
- A1,8 roku
- B3 lata
- C5 lat
- D9 lat
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 5 lat – Δt = γΔt₀ = (5/3) · 3 lata = 5 lat.
Cały dział „Elementy fizyki relatywistycznej”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.