1Bryła sztywna i jej ruchy
- Bryła sztywna to model ciała, w którym odległości między dowolnymi punktami się nie zmieniają (ciało się nie odkształca).
- Ruch postępowy: wszystkie punkty mają takie same tory i w danej chwili takie same prędkości, np. wysuwana szuflada.
- Ruch obrotowy: wszystkie punkty poruszają się po okręgach wokół wspólnej osi, np. łopatki wentylatora. Toczenie koła to złożenie obu ruchów.
2Opis obrotu
- Oznaczenia: φ – kąt obrotu [rad]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; ε – przyspieszenie kątowe [rad/s²]; t – czas [s]; T – okres [s]; f – częstotliwość [Hz]; r – odległość punktu od osi [m]; v – prędkość liniowa [m/s]; as, ar – przyspieszenie styczne i dośrodkowe [m/s²].
- Pełny obrót to 2π rad. ω = Δφ przez Δt, przy stałej ω: ω = 2π przez T = 2πf. Przyspieszenie kątowe: ε = Δω przez Δt.
Wszystkie punkty bryły mają te same φ, ω i ε, ale różne v: v = ω · r, as = ε · r, ar = ω² · r = v² przez r.
Punkt w odległości 0,3 m od osi przy ω = 10 rad/s ma przyspieszenie dośrodkowe
ar = ω² · r = 100 · 0,3 m/s² = 30 m/s²; 3 m/s² to błędne ω · r.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Analogie
| Ruch postępowy | Ruch obrotowy |
|---|---|
| położenie x [m] | kąt φ [rad] |
| prędkość v [m/s] | prędkość kątowa ω [rad/s] |
| przyspieszenie a [m/s²] | przyspieszenie kątowe ε [rad/s²] |
| masa m; F = m · a | moment bezwładności I; M = I · ε |
| pęd p = m · v; F = Δp przez Δt | moment pędu L = I · ω; M = ΔL przez Δt |
| Ek = m v² przez 2 | Ek = I ω² przez 2 |
- Przy stałym ε: ω = ω0 + ε · t oraz φ = ω0 · t + ε · t² przez 2 – jak v = v0 + a · t i x = v0 · t + a · t² przez 2.
4Przykład
- Dane: koło rusza ze spoczynku (ω0 = 0), ε = 2 rad/s², t = 5 s, punkt w odległości r = 0,3 m od osi.
- Wzory: ω = ε · t; φ = ε · t² przez 2; v = ω · r; as = ε · r; ar = ω² · r.
- Obliczenia: ω = 10 rad/s; φ = 25 rad ≈ 4 obroty (25 : 2π); v = 3 m/s; as = 0,6 m/s²; ar = 100 · 0,3 m/s² = 30 m/s².
- Odpowiedź: po 5 s koło ma ω = 10 rad/s i wykonało ok. 4 obroty, a punkt ma v = 3 m/s i ar = 30 m/s².
Wstawianie kątów w stopniach lub obrotach do wzorów z ω i ε. Kąt musi być w radianach (1 obrót = 2π rad).
Odpowiednikiem masy m w ruchu obrotowym jest
W równaniu M = I · ε moment bezwładności gra rolę masy z F = m · a.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Kinematyka ruchu obrotowego i analogie do ruchu postępowego
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Wszystkie punkty bryły mają te same φ, ω i ε, ale różne v: v = ω · r, as = ε · r, ar = ω² · r = v² przez r.
- Bryła sztywna to model ciała, w którym odległości między dowolnymi punktami się nie zmieniają (ciało się nie odkształca).
- Ruch postępowy: wszystkie punkty mają takie same tory i w danej chwili takie same prędkości, np. wysuwana szuflada.
- Ruch obrotowy: wszystkie punkty poruszają się po okręgach wokół wspólnej osi, np. łopatki wentylatora. Toczenie koła to złożenie obu ruchów.
- Oznaczenia: φ – kąt obrotu [rad]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; ε – przyspieszenie kątowe [rad/s²]; t – czas [s]; T – okres [s]; f – częstotliwość [Hz]; r – odległość punktu od osi [m]; v – prędkość liniowa [m/s]; as, ar – przyspieszenie styczne i dośrodkowe [m/s²].
- Dane: koło rusza ze spoczynku (ω0 = 0), ε = 2 rad/s², t = 5 s, punkt w odległości r = 0,3 m od osi.
- Wzory: ω = ε · t; φ = ε · t² przez 2; v = ω · r; as = ε · r; ar = ω² · r.
- Obliczenia: ω = 10 rad/s; φ = 25 rad ≈ 4 obroty (25 : 2π); v = 3 m/s; as = 0,6 m/s²; ar = 100 · 0,3 m/s² = 30 m/s².
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Ile radianów ma jeden pełny obrót?
- A1 rad
- B360 rad
- Cπ rad
- D2π rad
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2π rad – Kąt pełny to 360°, czyli 2π rad ≈ 6,28 rad.
Jak prędkość liniowa punktu bryły zależy od prędkości kątowej?
- Av = ω / r
- Bv = ω · r²
- Cv = ω + r
- Dv = ω · r
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: v = ω · r – Prędkość liniowa rośnie z odległością od osi, a ω jest wspólna dla całej bryły.
Koło obraca się z częstotliwością f = 5 Hz. Ile wynosi ω?
- A5 rad/s
- B5π rad/s
- C10π rad/s
- D2,5 rad/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 10π rad/s – ω = 2πf = 2π · 5 rad/s = 10π rad/s ≈ 31,4 rad/s.
Prędkość kątowa koła rośnie jednostajnie z 4 rad/s do 10 rad/s w ciągu 3 s. Ile wynosi ε?
- A4,7 rad/s²
- B18 rad/s²
- C2 rad/s²
- D3,3 rad/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2 rad/s² – ε = Δω/Δt = (10 − 4)/3 rad/s² = 2 rad/s².
Odpowiednikiem masy m w ruchu obrotowym jest
- Amoment bezwładności I
- Bmoment siły M
- Cprędkość kątowa ω
- Dmoment pędu L
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: moment bezwładności I – W równaniu M = I · ε moment bezwładności gra rolę masy z F = m · a.
Odpowiednikiem pędu p = m · v w ruchu obrotowym jest
- Amoment siły M = I · ε
- Bprzyspieszenie kątowe ε
- Cenergia kinetyczna Iω²/2
- Dmoment pędu L = I · ω
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: moment pędu L = I · ω – Masę zastępuje I, a prędkość – ω.
Koło rusza ze spoczynku z ε = 2 rad/s². Ile wynosi ω po 5 s?
- A50 rad/s
- B2,5 rad/s
- C10 rad/s
- D25 rad/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 10 rad/s – ω = ε · t = 2 · 5 rad/s = 10 rad/s.
Punkt w odległości 0,3 m od osi przy ω = 10 rad/s ma przyspieszenie dośrodkowe
- A3 m/s²
- B300 m/s²
- C30 m/s²
- D9 m/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 30 m/s² – ar = ω² · r = 100 · 0,3 m/s² = 30 m/s²; 3 m/s² to błędne ω · r.
Cały dział „Bryła sztywna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.