1Moment bezwładności
- Oznaczenia: I – moment bezwładności względem danej osi [kg·m²]; mi – masa i-tej części bryły [kg]; ri – jej odległość od osi [m]; m – masa bryły [kg]; r – promień [m]; l – długość pręta [m].
I = Σ mi · ri². Masa daleko od osi liczy się bardziej, bo odległość występuje w kwadracie.
| Bryła jednorodna i oś | I |
|---|---|
| punkt materialny, cienka obręcz (oś symetrii) | m r² |
| walec pełny (oś symetrii) | 1 przez 2 m r² |
| kula pełna (oś przez środek) | 2 przez 5 m r² |
| pręt (oś przez środek, prostopadła do pręta) | 1 przez 12 m l² |
- I podajemy zawsze względem konkretnej osi. Ten sam pręt obracany wokół końca ma I = 1 przez 3 m l², czyli 4 razy więcej niż wokół środka.
2II zasada dynamiki ruchu obrotowego
- Oznaczenia: M – wypadkowy moment sił zewnętrznych względem osi [N·m]; ε – przyspieszenie kątowe [rad/s²]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; Ek – energia kinetyczna ruchu obrotowego [J].
ε = M przez I, czyli M = I · ε. Ten sam moment siły nadaje bryle o większym I mniejsze przyspieszenie kątowe.
- Gdy M = 0, bryła obraca się ze stałą ω albo pozostaje w spoczynku (odpowiednik I zasady dynamiki).
- Energia kinetyczna ruchu obrotowego: Ek = I · ω² przez 2, np. koło o I = 0,5 kg·m² przy ω = 20 rad/s ma 100 J.
Pręt obracamy raz wokół osi przez środek, raz wokół osi przez koniec (obie prostopadłe do pręta). Jak się mają momenty bezwładności?
(1/3) m l² : (1/12) m l² = 4 – przy osi w końcu masa leży średnio dalej od osi.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Przykład: ciężarek na bloczku
- Dane: ciężarek m = 2 kg na lince nawiniętej na walec pełny o masie mw = 4 kg i promieniu r = 0,1 m; g = 10 m/s²; linka się nie ślizga. Szukane: a, N.
- Wzory: ciężarek: m g − N = m a; walec: N · r = I · ε, gdzie I = 1 przez 2 mw r² i ε = a przez r.
- Obliczenia: I = 0,02 kg·m²; N = I · a przez r² = 2 kg · a; 20 N − 2 kg · a = 2 kg · a, więc a = 5 m/s² i N = 10 N.
- Odpowiedź: a = 5 m/s² (mniej niż g, bo część energii idzie na rozkręcanie walca), naciąg N = 10 N, czyli mniej niż m g = 20 N.
Przyjęcie, że naciąg linki równa się ciężarowi ciężarka. Gdy ciężarek przyspiesza w dół, N jest mniejsze od m g.
✎Ściąga: Moment bezwładności i II zasada dynamiki ruchu obrotowego
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- I = Σ mi · ri². Masa daleko od osi liczy się bardziej, bo odległość występuje w kwadracie.
- ε = M przez I, czyli M = I · ε. Ten sam moment siły nadaje bryle o większym I mniejsze przyspieszenie kątowe.
- Oznaczenia: I – moment bezwładności względem danej osi [kg·m²]; mi – masa i-tej części bryły [kg]; ri – jej odległość od osi [m]; m – masa bryły [kg]; r – promień [m]; l – długość pręta [m].
- Oznaczenia: M – wypadkowy moment sił zewnętrznych względem osi [N·m]; ε – przyspieszenie kątowe [rad/s²]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; Ek – energia kinetyczna ruchu obrotowego [J].
- Dane: ciężarek m = 2 kg na lince nawiniętej na walec pełny o masie mw = 4 kg i promieniu r = 0,1 m; g = 10 m/s²; linka się nie ślizga. Szukane: a, N.
- Wzory: ciężarek: m g − N = m a; walec: N · r = I · ε, gdzie I = 1 przez 2 mw r² i ε = a przez r.
- Obliczenia: I = 0,02 kg·m²; N = I · a przez r² = 2 kg · a; 20 N − 2 kg · a = 2 kg · a, więc a = 5 m/s² i N = 10 N.
- Odpowiedź: a = 5 m/s² (mniej niż g, bo część energii idzie na rozkręcanie walca), naciąg N = 10 N, czyli mniej niż m g = 20 N.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Od czego zależy moment bezwładności bryły?
- ATylko od prędkości kątowej
- BTylko od objętości bryły
- CTylko od masy
- DOd masy i jej rozkładu względem osi obrotu
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Od masy i jej rozkładu względem osi obrotu – I = Σ m r², więc liczy się masa i jej odległość od osi.
Który wzór opisuje II zasadę dynamiki ruchu obrotowego?
- AF = I · ε
- BM = I · ω
- CM = I · ε
- DM = m · a
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: M = I · ε – Wypadkowy moment sił równa się iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego.
Moment bezwładności walca pełnego (oś symetrii) o masie 2 kg i promieniu 0,1 m wynosi
- A0,1 kg·m²
- B0,02 kg·m²
- C0,01 kg·m²
- D0,008 kg·m²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 0,01 kg·m² – I = ½ m r² = ½ · 2 · 0,1² kg·m² = 0,01 kg·m².
Na bryłę o I = 2 kg·m² działa wypadkowy moment sił 10 N·m. Ile wynosi ε?
- A20 rad/s²
- B12 rad/s²
- C5 rad/s²
- D0,2 rad/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 5 rad/s² – ε = M/I = 10/2 rad/s² = 5 rad/s².
Energia kinetyczna koła o I = 0,5 kg·m² obracającego się z ω = 20 rad/s to
- A5 J
- B100 J
- C10 J
- D200 J
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 100 J – Ek = Iω²/2 = 0,5 · 400/2 J = 100 J.
Jak zmieni się moment bezwładności obręczy, gdy jej promień wzrośnie dwa razy, a masa się nie zmieni?
- AWzrośnie 2 razy
- BNie zmieni się
- CWzrośnie 4 razy
- DZmaleje 2 razy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: Wzrośnie 4 razy – I = m r², a promień występuje w kwadracie.
Dane z przykładu: ciężarek 2 kg na lince nawiniętej na walec pełny (4 kg, r = 0,1 m), g = 10 m/s². Ile wynosi naciąg linki?
- A10 N
- B5 N
- C40 N
- D20 N
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 10 N – a = mg/(m + I/r²) = 20/(2 + 2) m/s² = 5 m/s², więc N = m(g − a) = 10 N; 20 N to błędne N = mg.
Pręt obracamy raz wokół osi przez środek, raz wokół osi przez koniec (obie prostopadłe do pręta). Jak się mają momenty bezwładności?
- AWokół końca I jest 4 razy mniejsze
- BWokół końca I jest 2 razy większe
- CSą równe, bo masa jest ta sama
- DWokół końca I jest 4 razy większe
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Wokół końca I jest 4 razy większe – (1/3) m l² : (1/12) m l² = 4 – przy osi w końcu masa leży średnio dalej od osi.
Cały dział „Bryła sztywna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.