ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Fizyka · Pole grawitacyjneklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/fizyka/orbity-i-predkosci-kosmiczne/

Fizyka · Pole grawitacyjne · kl. 2 · zakres rozszerzony

Orbity i prędkości kosmiczne

Satelita nie spada na Ziemię, bo ciągle leci „obok” niej. Policzysz, jak szybko musi lecieć, ile trwa jeden obieg i jaka prędkość pozwala uciec z pola grawitacyjnego.

ok. 3 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Prędkość i okres na orbicie kołowej

  • Oznaczenia: v – prędkość satelity [m/s]; T – okres obiegu [s]; r – promień orbity od środka ciała centralnego [m]; M – masa ciała centralnego [kg]; m – masa satelity [kg]; G – stała grawitacji [N·m²/kg²]; R – promień planety [m]; g – przyspieszenie grawitacyjne na jej powierzchni [m/s²].
  • Siła grawitacji jest siłą dośrodkową: m v² przez r = G M m przez r²; masa satelity się skraca.
Zapamiętaj

v = pierwiastek z G M przez r oraz T = 2π r przez v = 2πpierwiastek z r³ przez G M. Wyższa orbita – mniejsza prędkość i dłuższy okres.

2Energia satelity

  • Ek = G M m przez 2r, Ep = −⁠G M m przez r, więc energia całkowita E = −⁠G M m przez 2r [J].
  • E < 0: satelita jest związany z planetą. Wyższa orbita ma większą (mniej ujemną) energię, choć prędkość jest mniejsza.
Sprawdź, czy rozumiesz

Jaka jest energia całkowita satelity o masie m na orbicie kołowej o promieniu r?

3Prędkości kosmiczne

  • I prędkość kosmiczna v₁ – prędkość na orbicie kołowej tuż nad powierzchnią: v₁ = pierwiastek z G M przez R = pierwiastek z g R; dla Ziemi pierwiastek z 9,81 · 6,37·106 m/s ≈ 7,9 km/s.
  • II prędkość kosmiczna (ucieczki) v₂ – najmniejsza prędkość, przy której energia całkowita jest równa zeru: m v₂² przez 2 − G M m przez R = 0.
Zapamiętaj

v₂ = pierwiastek z 2 G M przez R = pierwiastek z 2 · v₁; dla Ziemi ok. 11,2 km/s.

vv < v₁: spada na planetęv = v₁: orbita kołowav₁ < v < v₂: elipsav ≥ v₂: ucieczka
Rzut poziomy tuż nad powierzchnią planety bez atmosfery: v < v₁ – spadek, v = v₁ – okrąg, między v₁ a v₂ – elipsa, v ≥ v₂ – ucieczka (wyżej progi są mniejsze)

4Orbita geostacjonarna i ISS

  • Orbita geostacjonarna jest kołowa, leży w płaszczyźnie równika, a satelita obiega Ziemię zgodnie z jej obrotem w ciągu doby gwiazdowej (ok. 23 h 56 min). Z wzoru na T: r ≈ 42 200 km od środka Ziemi, ok. 35 800 km nad powierzchnią. Satelita „wisi” nad jednym punktem równika.
  • Dane: ISS, h = 400 km, R = 6,37·106 m, G M = 3,98·1014 m³/s².
  • Wzory: r = R + h; v = pierwiastek z G M przez r; T = 2π r przez v.
  • Obliczenia: r = 6,77·106 m; v = pierwiastek z 3,98·1014 przez 6,77·106 m/s ≈ 7,67·103 m/s; T = 2π · 6,77·106 przez 7,67·103 s ≈ 5,5·103 s.
  • Odpowiedź: v ≈ 7,7 km/s, T ≈ 92 min.
Uwaga na błąd

Mylenie v₁ z v₂ lub wstawianie wysokości h zamiast promienia orbity r = R + h.

Sprawdź, czy rozumiesz

Prędkość satelity na orbicie kołowej o promieniu r wokół ciała o masie M wynosi

✎Ściąga: Orbity i prędkości kosmiczne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • v = pierwiastek z G M przez r oraz T = 2π r przez v = 2πpierwiastek z r³ przez G M. Wyższa orbita – mniejsza prędkość i dłuższy okres.
  • v₂ = pierwiastek z 2 G M przez R = pierwiastek z 2 · v₁; dla Ziemi ok. 11,2 km/s.
  • Oznaczenia: v – prędkość satelity [m/s]; T – okres obiegu [s]; r – promień orbity od środka ciała centralnego [m]; M – masa ciała centralnego [kg]; m – masa satelity [kg]; G – stała grawitacji [N·m²/kg²]; R – promień planety [m]; g – przyspieszenie grawitacyjne na jej powierzchni [m/s²].
  • I prędkość kosmiczna v₁ – prędkość na orbicie kołowej tuż nad powierzchnią: v₁ = pierwiastek z G M przez R = pierwiastek z g R; dla Ziemi pierwiastek z 9,81 · 6,37·106 m/s ≈ 7,9 km/s.
  • II prędkość kosmiczna (ucieczki) v₂ – najmniejsza prędkość, przy której energia całkowita jest równa zeru: m v₂² przez 2 − G M m przez R = 0.
  • Orbita geostacjonarna jest kołowa, leży w płaszczyźnie równika, a satelita obiega Ziemię zgodnie z jej obrotem w ciągu doby gwiazdowej (ok. 23 h 56 min). Z wzoru na T: r ≈ 42 200 km od środka Ziemi, ok. 35 800 km nad powierzchnią. Satelita „wisi” nad jednym punktem równika.
  • Dane: ISS, h = 400 km, R = 6,37·106 m, G M = 3,98·1014 m³/s².
  • Wzory: r = R + h; v = pierwiastek z G M przez r; T = 2π r przez v.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Prędkość satelity na orbicie kołowej o promieniu r wokół ciała o masie M wynosi

    1. Av = GM/r
    2. Bv = √(2GM/r)
    3. Cv = GM/r²
    4. Dv = √(GM/r)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: v = √(GM/r) – Z mv²/r = GMm/r² po skróceniu m; √(2GM/r) to prędkość ucieczki.

  2. Jak zmienia się okres obiegu satelity, gdy promień orbity rośnie?

    1. AZawsze równa się dobie
    2. BNie zmienia się
    3. CMaleje
    4. DRośnie
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: Rośnie – T = 2π√(r³/GM) rośnie z promieniem orbity.

  3. Ile wynosi I prędkość kosmiczna dla Ziemi?

    1. Aok. 7,9 km/s
    2. Bok. 11,2 km/s
    3. Cok. 0,34 km/s
    4. Dok. 3,1 km/s
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: ok. 7,9 km/s – v₁ = √(gR) = √(9,81 · 6,37·106) m/s ≈ 7,9 km/s.

  4. Ile wynosi II prędkość kosmiczna dla Ziemi?

    1. Aok. 7,9 km/s
    2. Bok. 3,1 km/s
    3. Cok. 15,8 km/s
    4. Dok. 11,2 km/s
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: ok. 11,2 km/s – v₂ = √2 · v₁ ≈ 1,41 · 7,9 km/s ≈ 11,2 km/s; 15,8 km/s to błędne 2v₁.

  5. Jaka jest energia całkowita satelity o masie m na orbicie kołowej o promieniu r?

    1. A+GMm/(2r)
    2. B0
    3. C−⁠GMm/r
    4. D−⁠GMm/(2r)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: −⁠GMm/(2r) – Ek = GMm/(2r), Ep = −⁠GMm/r, razem −⁠GMm/(2r).

  6. Ile trwa obieg satelity geostacjonarnego?

    1. AJedną dobę gwiazdową (ok. 23 h 56 min)
    2. BMiesiąc
    3. COk. 90 minut
    4. DRok
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: Jedną dobę gwiazdową (ok. 23 h 56 min) – Satelita obiega Ziemię tak szybko, jak ona się obraca, więc stale jest nad tym samym punktem równika.

  7. ISS krąży na wysokości h = 400 km (R = 6370 km, GM = 3,98·1014 m³/s²). Ile wynosi jej prędkość?

    1. Aok. 7,9 km/s
    2. Bok. 7,7 km/s
    3. Cok. 31,5 km/s
    4. Dok. 10,9 km/s
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: ok. 7,7 km/s – v = √(GM/r) dla r = 6,77·106 m daje ok. 7,7 km/s; 31,5 km/s to błąd r = h.

  8. Ciało na powierzchni planety (bez atmosfery) otrzymało prędkość równą v₂. Co się stanie?

    1. AOddali się od planety do nieskończoności
    2. BSpadnie z powrotem na planetę
    3. CWejdzie na orbitę kołową tuż nad powierzchnią
    4. DZatrzyma się na stałej wysokości
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: Oddali się od planety do nieskończoności – Przy v₂ energia całkowita jest równa zeru, więc ciało ucieka z pola grawitacyjnego planety.

Cały dział „Pole grawitacyjne”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Fizyka, klasa 2

Okres, częstotliwość i amplitudaSiła przywracająca i energia w drganiachWahadło i badanie okresuTłumienie, wymuszenie i rezonansFala i transport energiiDźwięk i efekt DoppleraDyfrakcja, superpozycja i interferencjaOdbicie, załamanie i światłowódŚwiatło, widmo i polaryzacjaZjawiska optyczne w atmosferzeEnergia wewnętrzna, temperatura i rozszerzalnośćCiepło, praca i I zasada termodynamikiCiepło właściwe i kalorymetrPrzemiany fazoweSzczególne właściwości wodyOdległości w kosmosie: au, rok świetlny, GalaktykaWielki Wybuch i rozszerzanie WszechświataPomiar, wykres i niepewnośćModel fizyczny i uzasadnianie w zadaniachŚrodek masy i równowaga bryły sztywnejKinematyka ruchu obrotowego i analogie do ruchu postępowegoMoment bezwładności i II zasada dynamiki ruchu obrotowegoMoment pędu i jego zachowanieToczenie bez poślizguPrawo grawitacji i przyspieszenie na planecieEnergia potencjalna w polu grawitacyjnymNieważkość i przeciążeniePrawa KepleraPrawo Hubble'a i Wielki Wybuch