1Toczenie jako dwa ruchy naraz
- Oznaczenia: v – prędkość środka masy [m/s]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; R – promień bryły [m]; I – moment bezwładności względem osi przez środek masy [kg·m²]; m – masa [kg].
- Toczenie bez poślizgu to złożenie ruchu postępowego środka masy i obrotu wokół osi przez środek masy. Punkt styku z podłożem jest w danej chwili nieruchomy.
Warunek toczenia bez poślizgu: v = ω · R.
- Najwyższy punkt ma prędkość v + ωR = 2v, punkt styku v − ωR = 0. Dlatego tarcie statyczne w punkcie styku nie wykonuje pracy i energia mechaniczna jest zachowana.
2Energia toczącego się ciała
- Oznaczenia: E – energia kinetyczna [J]; k – współczynnik w I = k · m R²: kula pełna 2 przez 5, walec pełny 1 przez 2, cienka obręcz (cienkościenna rura) 1.
E = m v² przez 2 + I ω² przez 2 = m v² przez 2 · (1 + k).
- Walec pełny: E = 3 przez 4 m v², z czego na obrót przypada 1 przez 3.
Czy tarcie statyczne przy toczeniu bez poślizgu wykonuje pracę?
Siła działa w punkcie, który się nie przesuwa, więc jej praca jest zerowa i energia mechaniczna jest zachowana.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Stoczenie z równi
- Oznaczenia: h – wysokość startu [m]; g – przyspieszenie ziemskie [m/s²]; α – kąt nachylenia równi; s – droga wzdłuż równi [m]; a – przyspieszenie środka masy [m/s²].
- Start ze spoczynku: m g h = m v² przez 2 · (1 + k), stąd v = pierwiastek z 2 g h przez 1 + k; z v² = 2 a s i h = s · sin α: a = g · sin α przez 1 + k.
- Wynik nie zależy od masy ani promienia, tylko od kształtu (k). Kolejność na mecie: kula, walec, obręcz. Doświadczenie: pełny walec wyprzedza na równi cienkościenną rurę o tej samej średnicy.
4Przykład
- Dane: walec pełny (k = ½), h = 0,6 m, g = 10 m/s², start ze spoczynku.
- Wzór: v = pierwiastek z 2 g h przez 1 + k.
- Obliczenia: v = pierwiastek z 2 · 10 · 0,6 przez 1,5 m/s = pierwiastek z 8 m/s ≈ 2,8 m/s.
- Odpowiedź: v ≈ 2,8 m/s; klocek zsuwający się bez tarcia miałby pierwiastek z 2 g h ≈ 3,5 m/s.
Liczenie v = pierwiastek z 2 g h dla toczącej się bryły – pomija się wtedy energię obrotu.
Która bryła stoczy się z równi najszybciej (ta sama wysokość, start ze spoczynku)?
Kula ma najmniejsze k = 2/5, więc najmniejsza część energii idzie na obrót.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Toczenie bez poślizgu
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Warunek toczenia bez poślizgu: v = ω · R.
- E = m v² przez 2 + I ω² przez 2 = m v² przez 2 · (1 + k).
- Oznaczenia: v – prędkość środka masy [m/s]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; R – promień bryły [m]; I – moment bezwładności względem osi przez środek masy [kg·m²]; m – masa [kg].
- Oznaczenia: E – energia kinetyczna [J]; k – współczynnik w I = k · m R²: kula pełna 2 przez 5, walec pełny 1 przez 2, cienka obręcz (cienkościenna rura) 1.
- Oznaczenia: h – wysokość startu [m]; g – przyspieszenie ziemskie [m/s²]; α – kąt nachylenia równi; s – droga wzdłuż równi [m]; a – przyspieszenie środka masy [m/s²].
- Dane: walec pełny (k = ½), h = 0,6 m, g = 10 m/s², start ze spoczynku.
- Wzór: v = pierwiastek z 2 g h przez 1 + k.
- Obliczenia: v = pierwiastek z 2 · 10 · 0,6 przez 1,5 m/s = pierwiastek z 8 m/s ≈ 2,8 m/s.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Warunek toczenia bez poślizgu to
- Av = 2ω · R
- Bv = ω · R
- Cv = ω
- Dv = ω / R
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: v = ω · R – Punkt styku nie przesuwa się względem podłoża, więc prędkość środka równa się ωR.
Środek toczącego się koła ma prędkość v. Jaką prędkość względem podłoża ma najwyższy punkt koła?
- Av
- B2v
- C0
- Dv/2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2v – Najwyższy punkt ma v z ruchu postępowego i ωR = v z obrotu, razem 2v.
Czy tarcie statyczne przy toczeniu bez poślizgu wykonuje pracę?
- ATak, i zwiększa energię mechaniczną
- BNie, bo punkt styku jest chwilowo nieruchomy
- CTylko na równi pochyłej
- DTak, i zmniejsza energię mechaniczną
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Nie, bo punkt styku jest chwilowo nieruchomy – Siła działa w punkcie, który się nie przesuwa, więc jej praca jest zerowa i energia mechaniczna jest zachowana.
Która bryła stoczy się z równi najszybciej (ta sama wysokość, start ze spoczynku)?
- AWszystkie jednocześnie
- BKula pełna
- CObręcz
- DWalec pełny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Kula pełna – Kula ma najmniejsze k = 2/5, więc najmniejsza część energii idzie na obrót.
Od czego zależy prędkość bryły po stoczeniu się z wysokości h?
- AOd promienia bryły
- BTylko od h, g i kształtu bryły (k)
- COd masy bryły
- DOd masy i promienia bryły
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Tylko od h, g i kształtu bryły (k) – v = √(2gh/(1 + k)); masa i promień się skracają.
Walec pełny stacza się z wysokości h = 0,6 m (g = 10 m/s²). Ile wynosi jego prędkość na dole?
- Aok. 3,5 m/s
- Bok. 2,4 m/s
- Cok. 2,8 m/s
- Dok. 1,4 m/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ok. 2,8 m/s – v = √(2 · 10 · 0,6/1,5) m/s = √8 m/s ≈ 2,8 m/s; 3,5 m/s to wynik bez energii obrotu.
Przyspieszenie walca pełnego (k = ½) toczącego się po równi o kącie 30° wynosi (g = 10 m/s²)
- Aok. 3,3 m/s²
- B2,5 m/s²
- C5 m/s²
- D10 m/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ok. 3,3 m/s² – a = g · sin α/(1 + k) = 10 · 0,5/1,5 m/s² ≈ 3,3 m/s².
Jaką część energii kinetycznej toczącego się walca pełnego stanowi energia obrotu?
- A1/2
- B1/3
- C1/4
- D2/3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 1/3 – Eobr = ½Iω² = ¼mv², a całość ¾mv², więc obrót to 1/3.
Cały dział „Bryła sztywna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.