1Moment pędu
- Oznaczenia: L – moment pędu [kg·m²/s]; I – moment bezwładności [kg·m²]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; m – masa [kg]; v – prędkość [m/s]; r – odległość od osi [m]; α – kąt między r a v; M – wypadkowy moment sił zewnętrznych [N·m]; Δt – czas [s].
- Bryła obracająca się wokół ustalonej osi: L = I · ω – obrotowy odpowiednik pędu p = m · v.
- Punkt materialny: L = m · v · r · sin α; na okręgu (v ⟂ r) L = m · v · r.
Moment pędu zmienia się tylko pod działaniem momentu siły: M = ΔL przez Δt (odpowiednik F = Δp przez Δt).
2Zasada zachowania momentu pędu
Gdy wypadkowy moment sił zewnętrznych jest zerowy, L = const, czyli I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂.
- Mniejsze I oznacza większe ω: łyżwiarka przyciąga ręce (I maleje) i kręci się szybciej, rozkłada ręce i zwalnia.
- Doświadczenie: siedzisz na obrotowym krześle z hantlami w wyciągniętych rękach i ktoś cię rozkręca. Gdy przyciągniesz hantle do siebie, obracasz się szybciej.
Zasada zachowania momentu pędu obowiązuje, gdy
Zerowy zewnętrzny moment sił oznacza ΔL = 0, czyli L = const.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Przykład: piruet
- Dane: I₁ = 2,4 kg·m², ω₁ = 3 rad/s; po przyciągnięciu rąk I₂ = 1,2 kg·m².
- Wzór: I₁ω₁ = I₂ω₂, więc ω₂ = I₁ · ω₁ przez I₂.
- Obliczenia: ω₂ = 2,4 · 3 przez 1,2 rad/s = 6 rad/s; E₁ = 2,4 · 3² przez 2 J = 10,8 J, E₂ = 1,2 · 6² przez 2 J = 21,6 J.
- Odpowiedź: ω₂ = 6 rad/s. Energia kinetyczna wzrosła o 10,8 J kosztem pracy mięśni – zachował się moment pędu, a nie energia.
4Punkt na okręgu i planety
- Kulka na sznurku przewleczonym przez rurkę krąży z v₁ = 2 m/s po okręgu r₁ = 0,5 m. Wciągamy sznurek do r₂ = 0,25 m; siła działa wzdłuż promienia, więc jej moment jest zerowy: m v₁ r₁ = m v₂ r₂, stąd v₂ = 4 m/s.
- Tak samo planeta jest najszybsza w peryhelium (II prawo Keplera).
„Skoro moment pędu jest zachowany, to energia kinetyczna też”
Przy zmianie I energia się zmienia, bo ktoś wykonuje pracę.
Kulka na sznurku krąży po okręgu o r = 0,5 m z v = 2 m/s. Sznurek wciągnięto do r = 0,25 m. Ile wynosi nowa prędkość?
m v r = const, więc dwa razy mniejszy promień daje dwa razy większą prędkość.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Moment pędu i jego zachowanie
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Moment pędu zmienia się tylko pod działaniem momentu siły: M = ΔL przez Δt (odpowiednik F = Δp przez Δt).
- Gdy wypadkowy moment sił zewnętrznych jest zerowy, L = const, czyli I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂.
- Oznaczenia: L – moment pędu [kg·m²/s]; I – moment bezwładności [kg·m²]; ω – prędkość kątowa [rad/s]; m – masa [kg]; v – prędkość [m/s]; r – odległość od osi [m]; α – kąt między r a v; M – wypadkowy moment sił zewnętrznych [N·m]; Δt – czas [s].
- Doświadczenie: siedzisz na obrotowym krześle z hantlami w wyciągniętych rękach i ktoś cię rozkręca. Gdy przyciągniesz hantle do siebie, obracasz się szybciej.
- Dane: I₁ = 2,4 kg·m², ω₁ = 3 rad/s; po przyciągnięciu rąk I₂ = 1,2 kg·m².
- Wzór: I₁ω₁ = I₂ω₂, więc ω₂ = I₁ · ω₁ przez I₂.
- Obliczenia: ω₂ = 2,4 · 3 przez 1,2 rad/s = 6 rad/s; E₁ = 2,4 · 3² przez 2 J = 10,8 J, E₂ = 1,2 · 6² przez 2 J = 21,6 J.
- Odpowiedź: ω₂ = 6 rad/s. Energia kinetyczna wzrosła o 10,8 J kosztem pracy mięśni – zachował się moment pędu, a nie energia.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Moment pędu bryły obracającej się wokół ustalonej osi to
- AL = I · ε
- BL = I / ω
- CL = m · ω
- DL = I · ω
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: L = I · ω – Moment pędu to iloczyn momentu bezwładności i prędkości kątowej.
Zasada zachowania momentu pędu obowiązuje, gdy
- Abryła stoi w miejscu
- Bwypadkowy moment sił zewnętrznych jest równy zeru
- Cenergia kinetyczna jest zachowana
- Dsiła wypadkowa jest różna od zera
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: wypadkowy moment sił zewnętrznych jest równy zeru – Zerowy zewnętrzny moment sił oznacza ΔL = 0, czyli L = const.
Łyżwiarka przyciąga ręce do ciała. Co się dzieje z jej prędkością kątową?
- ARośnie, bo I maleje
- BSpada do zera
- CMaleje, bo I maleje
- DNie zmienia się
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: Rośnie, bo I maleje – Z I · ω = const mniejsze I daje większe ω.
I₁ = 2,4 kg·m², ω₁ = 3 rad/s, po zmianie ułożenia ciała I₂ = 1,2 kg·m². Ile wynosi ω₂?
- A1,5 rad/s
- B12 rad/s
- C6 rad/s
- D3 rad/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 6 rad/s – ω₂ = I₁ω₁/I₂ = 2,4 · 3/1,2 rad/s = 6 rad/s.
Jaka jest jednostka momentu pędu?
- AJ
- Bkg·m/s
- Ckg·m²/s
- DN·m
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: kg·m²/s – L = Iω, więc kg·m² · 1/s = kg·m²/s; kg·m/s to jednostka pędu.
Kulka na sznurku krąży po okręgu o r = 0,5 m z v = 2 m/s. Sznurek wciągnięto do r = 0,25 m. Ile wynosi nowa prędkość?
- A1 m/s
- B2 m/s
- C8 m/s
- D4 m/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 4 m/s – m v r = const, więc dwa razy mniejszy promień daje dwa razy większą prędkość.
Jak zmienia się energia kinetyczna łyżwiarki, gdy przyciągając ręce zmniejsza I dwa razy?
- APozostaje taka sama
- BMaleje dwa razy
- CWzrasta cztery razy
- DWzrasta dwa razy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Wzrasta dwa razy – ω rośnie 2 razy, więc E = Iω²/2 zmienia się o czynnik ½ · 4 = 2; różnicę daje praca mięśni.
Co w równaniu M = ΔL/Δt odpowiada sile F z równania F = Δp/Δt?
- AMoment siły M
- BCzas Δt
- CMoment bezwładności I
- DMoment pędu L
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: Moment siły M – Moment siły to obrotowy odpowiednik siły, a moment pędu – odpowiednik pędu.
Cały dział „Bryła sztywna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.