1Jak czytać drzewo
- Z każdego węzła wychodzą gałęzie, a prawdopodobieństwa na gałęziach z jednego węzła sumują się do 1.
- Wzdłuż jednej drogi mnożysz prawdopodobieństwa. To wynik tego, że kolejne etapy zachodzą jeden po drugim.
- Drogi prowadzące do tego samego zdarzenia dodajesz, bo to rozłączne sposoby.
- Przy losowaniu bez zwracania liczby na gałęziach drugiego etapu zależą od pierwszego wyniku: po białej zostaje 2 białe z 4, po czarnej 3 białe z 4.
Przy zwracaniu liczby na gałęziach drugiego etapu
Po zwróceniu kuli skład urny jest taki sam jak na początku.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Przykłady krok po kroku
- Obie białe. Wzór: mnożenie wzdłuż drogi. Obliczenia: P(BB) = 3 przez 5 · 2 przez 4 = 3 przez 10.
- Dokładnie jedna biała. Dwie drogi: BC i CB. Obliczenia: 3 przez 5 · 2 przez 4 + 2 przez 5 · 3 przez 4 = 3 przez 10 + 3 przez 10 = 3 przez 5.
- Ze zwracaniem skład się nie zmienia: P(BC) = 3 przez 5 · 2 przez 5 = 6 przez 25.
- Przekładanie kuli. Urna U₁ ma 4 białe i 1 czarną, urna U₂ 2 białe i 3 czarne. Losujesz kulę z U₁, wkładasz do U₂, potem losujesz z U₂.
- Gałęzie: po białej w U₂ są 3 białe z 6, po czarnej 2 białe z 6.
- Obliczenia: P(biała z U₂) = 4 przez 5 · 3 przez 6 + 1 przez 5 · 2 przez 6 = 12 przez 30 + 2 przez 30 = 14 przez 30.
- Odpowiedź: 7 przez 15.
Mnożysz po gałęziach drogi, dodajesz drogi do tego samego zdarzenia. Suma wszystkich dróg to 1.
Ta sama liczba na gałęziach drugiego etapu mimo losowania bez zwracania. Po wyjęciu kuli skład urny się zmienia.
✎Ściąga: Drzewo stochastyczne
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Mnożysz po gałęziach drogi, dodajesz drogi do tego samego zdarzenia. Suma wszystkich dróg to 1.
- Wzdłuż jednej drogi mnożysz prawdopodobieństwa. To wynik tego, że kolejne etapy zachodzą jeden po drugim.
- Drogi prowadzące do tego samego zdarzenia dodajesz, bo to rozłączne sposoby.
- Obie białe. Wzór: mnożenie wzdłuż drogi. Obliczenia: P(BB) = 3 przez 5 · 2 przez 4 = 3 przez 10.
- Dokładnie jedna biała. Dwie drogi: BC i CB. Obliczenia: 3 przez 5 · 2 przez 4 + 2 przez 5 · 3 przez 4 = 3 przez 10 + 3 przez 10 = 3 przez 5.
- Ze zwracaniem skład się nie zmienia: P(BC) = 3 przez 5 · 2 przez 5 = 6 przez 25.
- Przekładanie kuli. Urna U₁ ma 4 białe i 1 czarną, urna U₂ 2 białe i 3 czarne. Losujesz kulę z U₁, wkładasz do U₂, potem losujesz z U₂.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Prawdopodobieństwa na gałęziach wychodzących z jednego węzła drzewa dają w sumie
- A1
- Bdowolną liczbę
- C0
- Dliczbę gałęzi
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 – Z węzła wychodzą wszystkie możliwe wyniki etapu, więc ich prawdopodobieństwa sumują się do 1.
Prawdopodobieństwo wzdłuż jednej drogi drzewa obliczasz przez
- Adodawanie liczb na gałęziach
- Bwybór największej liczby
- Cmnożenie liczb na gałęziach
- Dodejmowanie od 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: mnożenie liczb na gałęziach – Kolejne etapy zachodzą po sobie, więc prawdopodobieństwa mnożysz.
Z urny z 3 białymi i 2 czarnymi kulami losujesz bez zwracania dwie. P(obie białe) wynosi
- A3 przez 5
- B2 przez 5
- C3 przez 10
- D9 przez 25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 3 przez 10 – 3 przez 5 · 2 przez 4 = 3 przez 10.
Ta sama urna, losowanie bez zwracania. P(dokładnie jedna biała) wynosi
- A3 przez 5
- B6 przez 25
- C3 przez 10
- D12 przez 25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3 przez 5 – Dwie drogi (BC i CB) po 3 przez 10, razem 3 przez 5. Wynik 3 przez 10 to tylko jedna z dróg.
Ta sama urna, losowanie ze zwracaniem. P(pierwsza biała, druga czarna) wynosi
- A6 przez 25
- B1 przez 5
- C3 przez 10
- D9 przez 25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 6 przez 25 – 3 przez 5 · 2 przez 5 = 6 przez 25; po zwróceniu skład się nie zmienia.
Ta sama urna, bez zwracania. P(obie czarne) wynosi
- A2 przez 5
- B4 przez 25
- C1 przez 5
- D1 przez 10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 1 przez 10 – 2 przez 5 · 1 przez 4 = 2 przez 20 = 1 przez 10.
Przy zwracaniu liczby na gałęziach drugiego etapu
- Azależą od pierwszego wyniku
- Bsumują się do 2
- Czawsze wynoszą 1 przez 2
- Dnie zależą od pierwszego wyniku
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: nie zależą od pierwszego wyniku – Po zwróceniu kuli skład urny jest taki sam jak na początku.
Wyniki czterech dróg w drzewie dla dwóch losowań sumują się do
- A2
- B1
- C1 przez 2
- D4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 1 – Cztery drogi to wszystkie możliwe wyniki, więc ich prawdopodobieństwa dają 1: 3 przez 10 + 3 przez 10 + 3 przez 10 + 1 przez 10 = 1.
Cały dział „Prawdopodobieństwo”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.