ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Kombinatorykaklasa 4 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/4/matematyka/permutacje-wariacje-i-kombinacje/

Matematyka · Kombinatoryka · kl. 4 · zakres rozszerzony

Permutacje, wariacje i kombinacje

Zakres rozszerzony: trzy gotowe wzory zastępują długie mnożenie. Trzeba tylko dobrze rozpoznać, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Cztery modele

  • Permutacja: ustawienie wszystkich n elementów w ciągu. P = n! = 1 · 2 · … · n, a 0! = 1. Przykład: 4 osoby w kolejce na 4! = 24 sposoby.
  • Wariacja bez powtórzeń: wybierasz k z n różnych elementów i kolejność ma znaczenie: n! przez (n − k)! = n · (n − 1) · … · (n − k + 1). Tu n to liczba elementów, k liczba wybieranych (0 ≤ k ≤ n).
  • Wariacja z powtórzeniami: kolejność ma znaczenie i elementy mogą się powtarzać: nk.
  • Kombinacja: wybierasz k z n, kolejność nie ma znaczenia: (n po k) = n! przez k! · (n − k)!. W zeszycie zapisujesz to symbolem Newtona: n nad k w nawiasie.
wybieram k z n elementówCzy kolejność ma znaczenie?NIETAKkombinacjan! / (k!·(n − k)!)Czy mogą się powtarzać?NIETAKwariacja bez powt.n! / (n − k)!wariacja z powt.nᵏgdy k = n: permutacja n! (kolejność ma znaczenie)
Jak wybrać wzór: dwa pytania o kolejność i powtórzenia.

2Przykłady krok po kroku

  • Podium z 8 zawodników. Dane: n = 8, k = 3; kolejność ma znaczenie (złoto ≠ srebro), bez powtórzeń.
  • Model: wariacja bez powtórzeń, n! przez (n − k)! = 8! przez 5!.
  • Obliczenia: 8 · 7 · 6 = 336.
  • Odpowiedź: 336 różnych podiów.
  • Komisja 3 osób z 10 (bez kolejności). Wzór: (n po k). Obliczenia: 10 · 9 · 8 przez 3 · 2 · 1 = 120. Odpowiedź: 120 komisji.
  • Hasło z 3 liter wybranych z 5, z powtórzeniami: 5³ = 125; bez powtórzeń: 5 · 4 · 3 = 60.
  • Lotto: 6 liczb z 49, kolejność nieważna: (49 po 6) = 13 983 816.
Sprawdź, czy rozumiesz

Na ile sposobów ustawisz w kolejce 5 osób?

3Dodatek: permutacje z powtórzeniami

  • Gdy wśród n elementów n₁ jest jednakowych jednego rodzaju, n₂ drugiego itd., przestawień jest n! przez n₁! · n₂! · …. Słowo MAMA: 4! przez 2! · 2! = 6.
Zapamiętaj

Pytania do wyboru wzoru: czy kolejność ma znaczenie? czy elementy mogą się powtarzać?

Uwaga na błąd

Używanie wariacji tam, gdzie kolejność jest nieważna. Komisja to kombinacja, a podium wariacja.

✎Ściąga: Permutacje, wariacje i kombinacje

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Pytania do wyboru wzoru: czy kolejność ma znaczenie? czy elementy mogą się powtarzać?
  • Permutacja: ustawienie wszystkich n elementów w ciągu. P = n! = 1 · 2 · … · n, a 0! = 1. Przykład: 4 osoby w kolejce na 4! = 24 sposoby.
  • Wariacja bez powtórzeń: wybierasz k z n różnych elementów i kolejność ma znaczenie: n! przez (n − k)! = n · (n − 1) · … · (n − k + 1). Tu n to liczba elementów, k liczba wybieranych (0 ≤ k ≤ n).
  • Wariacja z powtórzeniami: kolejność ma znaczenie i elementy mogą się powtarzać: nk.
  • Kombinacja: wybierasz k z n, kolejność nie ma znaczenia: (n po k) = n! przez k! · (n − k)!. W zeszycie zapisujesz to symbolem Newtona: n nad k w nawiasie.
  • Podium z 8 zawodników. Dane: n = 8, k = 3; kolejność ma znaczenie (złoto ≠ srebro), bez powtórzeń.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Na ile sposobów ustawisz w kolejce 5 osób?

    1. A10
    2. B60
    3. C25
    4. D120
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 120 – To permutacja: 5! = 120.

  2. Ile jest podiów (złoto, srebro, brąz) z 8 zawodników?

    1. A336
    2. B512
    3. C56
    4. D24
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 336 – Kolejność ma znaczenie: 8 · 7 · 6 = 336. Wynik 56 to kombinacja (8 po 3).

  3. Ile jest komisji 3-osobowych z 10 osób?

    1. A120
    2. B1000
    3. C30
    4. D720
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 120 – Kolejność nieważna: (10 po 3) = 120. Wynik 720 to wariacje.

  4. Ile jest 3-literowych haseł z 5 różnych liter, gdy litery mogą się powtarzać?

    1. A125
    2. B15
    3. C10
    4. D60
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 125 – Wariacja z powtórzeniami: 5³ = 125. Wynik 60 to hasła bez powtórzeń.

  5. Ile wynosi (6 po 2)?

    1. A30
    2. B15
    3. C12
    4. D36
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 15 – (6 po 2) = 6 · 5 przez 2 = 15. Wynik 30 to wariacja.

  6. Na ile sposobów można przestawić litery słowa MAMA?

    1. A4
    2. B6
    3. C24
    4. D12
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 6 – 4! przez 2! · 2! = 6, bo dwie litery M i dwie A są nierozróżnialne.

  7. Na półce stoi 5 różnych książek. Na ile sposobów można je ustawić, jeśli dwie ustalone mają stać obok siebie?

    1. A120
    2. B48
    3. C96
    4. D24
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 48 – Sklejasz je w jeden blok: 4! ustawień bloków i 2 ustawienia książek w bloku, 2 · 24 = 48.

  8. Ile jest sposobów wyboru 6 liczb z 49 (kolejność nieważna)?

    1. A13 983 816
    2. B6!
    3. C49⁶
    4. D49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 13 983 816 – Kombinacja (49 po 6) = 13 983 816. Pozostałe wyrażenia uwzględniają kolejność lub powtórzenia.

Cały dział „Kombinatoryka”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 4

Reguła mnożenia i reguła dodawaniaZliczanie z warunkamiWłasności symbolu Newtona i dowód zliczającyPrzestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzeniaKlasyczna definicja prawdopodobieństwaDoświadczenia wieloetapowe: ze zwracaniem i bezZdarzenie przeciwne i suma zdarzeńDrzewo stochastycznePrawdopodobieństwo warunkoweNiezależność i prawdopodobieństwo całkowiteWzór BayesaSchemat BernoullegoGranica funkcji, granice jednostronne i ciągłośćObliczanie granic funkcjiWłasność Darboux i miejsca zerowePochodna funkcji: definicja i interpretacjeReguły różniczkowaniaMonotoniczność i ekstrema funkcjiStyczna do wykresu funkcjiOptymalizacja z pochodnąKombinatoryka i prawdopodobieństwo na maturze: jak to ugryźćPochodna na maturze: typy zadań i parametrOptymalizacja z funkcją kwadratowąMatura podstawowa: funkcje, ciągi i geometria w jednym miejscu