1Cztery typy
| typ zadania | plan |
|---|---|
| równanie stycznej | x₀, f(x₀), f′(x₀), wzór y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) |
| monotoniczność, ekstrema | f′, zera, znak f′, wniosek |
| najmniejsza i największa wartość na ⟨a, b⟩ | porównaj f w zerach f′ i na końcach |
| optymalizacja | funkcja z dziedziną, f′, uzasadnienie, odpowiedź z jednostką |
2Zadanie z parametrem: liczba miejsc zerowych
- Dla jakich m funkcja f(x) = x³ − 3x + m ma trzy miejsca zerowe? Pochodna: f′(x) = 3(x² − 1). Maksimum f(−1) = 2 + m, minimum f(1) = −2 + m.
- Trzy zera są, gdy maksimum jest nad osią, a minimum pod osią: 2 + m > 0 i −2 + m < 0. Stąd −2 < m < 2.
Funkcja x³ − 3x + m ma trzy miejsca zerowe, gdy
Potrzeba maksimum > 0 i minimum < 0.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Ekstremum w danym punkcie: parametr
- Dla jakiego a funkcja f(x) = x³ + ax² + x ma ekstremum w x = 1? Warunek konieczny: f′(1) = 0. f′(x) = 3x² + 2ax + 1, więc 4 + 2a = 0, a = −2.
- Sprawdź zmianę znaku: f′(x) = 3x² − 4x + 1 = (3x − 1)(x − 1). Zmienia znak w x = 1 (z − na +), więc w 1 jest minimum, f(1) = 0. Drugie ekstremum: f(1 przez 3) = 4 przez 27 (maksimum).
- Pułapka: dla f(x) = x³ + ax² + 3x warunek f′(1) = 0 daje a = −3, ale wtedy f′ = 3(x − 1)² ≥ 0 i ekstremum nie ma. Sama równość f′(1) = 0 nie wystarcza.
W zadaniach z parametrem warunek f′(x₀) = 0 jest konieczny. Zawsze sprawdź zmianę znaku pochodnej.
Uznanie, że f′(x₀) = 0 oznacza ekstremum, albo pominięcie końców przedziału przy wartości najmniejszej i największej.
✎Ściąga: Pochodna na maturze: typy zadań i parametr
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- W zadaniach z parametrem warunek f′(x₀) = 0 jest konieczny. Zawsze sprawdź zmianę znaku pochodnej.
- Sprawdź zmianę znaku: f′(x) = 3x² − 4x + 1 = (3x − 1)(x − 1). Zmienia znak w x = 1 (z − na +), więc w 1 jest minimum, f(1) = 0. Drugie ekstremum: f(1 przez 3) = 4 przez 27 (maksimum).
- Pułapka: dla f(x) = x³ + ax² + 3x warunek f′(1) = 0 daje a = −3, ale wtedy f′ = 3(x − 1)² ≥ 0 i ekstremum nie ma. Sama równość f′(1) = 0 nie wystarcza.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Dla f(x) = x³ − 3x + m maksimum lokalne wynosi
- A2 + m
- B−2 + m
- Cm
- D2m
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 + m – f(−1) = −1 + 3 + m = 2 + m.
Dla f(x) = x³ − 3x + m minimum lokalne wynosi
- A−m
- B2 + m
- Cm
- D−2 + m
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −2 + m – f(1) = 1 − 3 + m = −2 + m.
Funkcja x³ − 3x + m ma trzy miejsca zerowe, gdy
- Am < −2
- Bm = 0
- Cm > 2
- D−2 < m < 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −2 < m < 2 – Potrzeba maksimum > 0 i minimum < 0.
Funkcja f(x) = x³ + ax² + x ma ekstremum w x = 1 dla a równego
- A−3
- B2
- C0
- D−2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −2 – f′(1) = 4 + 2a = 0, więc a = −2.
Dla f(x) = x³ + ax² + 3x warunek f′(1) = 0 daje a = −3. Funkcja ma wtedy w x = 1
- Aasymptotę
- Bbrak ekstremum
- Cmaksimum
- Dminimum
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: brak ekstremum – f′ = 3(x − 1)² ≥ 0, pochodna nie zmienia znaku.
Do wartości największej na przedziale ⟨a, b⟩ potrzebujesz
- Aznaku f″
- Bwartości w zerach f′ i na końcach
- Ctylko zer f′
- Dtylko końców
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: wartości w zerach f′ i na końcach – Największa wartość może być na końcu przedziału.
Pierwszym krokiem w zadaniu o monotoniczności jest
- Aszkic wykresu bez wzoru
- Bwyznaczenie f(0)
- Cpodanie odpowiedzi
- Dobliczenie f′
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: obliczenie f′ – Znak pochodnej decyduje o monotoniczności.
Jeśli f′(x) = 3(x − 1)(x + 1), to f maleje na
- Acałej prostej
- B⟨−1, 1⟩
- C⟨1, +∞)
- D(−∞, −1⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: ⟨−1, 1⟩ – f′ < 0 między zerami, a ramiona paraboli f′ są w górę.
Cały dział „Powtórka maturalna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.