1Wierzchołek daje ekstremum
- Funkcja kwadratowa f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) ma wierzchołek W(p, q), gdzie p = −b przez 2a, q = −Δ przez 4a, a Δ = b² − 4ac (wzory są na karcie wzorów).
- Gdy a < 0 (ramiona w dół), q to wartość największa, osiągana dla x = p. Gdy a > 0 (ramiona w górę), q to wartość najmniejsza.
Na całej prostej ekstremum jest w wierzchołku. Na przedziale ⟨m, n⟩ porównaj f(m), f(n) i – jeśli p ∈ ⟨m, n⟩ – także f(p).
2Przykład krok po kroku: działka nad rzeką
- Zadanie: masz 40 m siatki i grodzisz prostokątną działkę przy rzece (od strony rzeki płotu nie ma). Jakie wymiary dają największe pole?
- Oznaczenia: x – długość boku prostopadłego do rzeki [m]. Bok równoległy do rzeki ma 40 − 2x [m].
- Funkcja: P(x) = x(40 − 2x) = −2x² + 40x [m²], dziedzina praktyczna 0 < x < 20 (oba boki dodatnie).
- Wierzchołek: p = −40 przez 2 · (−2) = 10 ∈ (0, 20), a a = −2 < 0, więc to maksimum.
- Obliczenia: P(10) = 10 · (40 − 20) = 200.
- Odpowiedź: działka 10 m × 20 m ma największe pole 200 m².
Masz 40 m siatki na trzy boki prostokątnej działki przy rzece. Największe możliwe pole to
P(x) = x(40 − 2x) ma maksimum w x = 10: 10 · 20 = 200 m².
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Funkcja na przedziale
- f(x) = x² − 4x + 1, p = 2. Na ⟨0, 3⟩: f(0) = 1, f(2) = −3, f(3) = −2, więc najmniejsza wartość −3, największa 1.
- Na ⟨3, 5⟩ wierzchołka nie ma (2 ∉ ⟨3, 5⟩), f tam rośnie: najmniejsza f(3) = −2, największa f(5) = 6.
- Prostokąt o obwodzie 20: P(x) = x(10 − x), maksimum dla x = 5, czyli kwadrat o polu 25.
Podanie w odpowiedzi x = p zamiast szukanej wielkości (np. pola) albo użycie wierzchołka, który leży poza dziedziną praktyczną lub poza przedziałem.
✎Ściąga: Optymalizacja z funkcją kwadratową
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Na całej prostej ekstremum jest w wierzchołku. Na przedziale ⟨m, n⟩ porównaj f(m), f(n) i – jeśli p ∈ ⟨m, n⟩ – także f(p).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wierzchołek paraboli f(x) = −2x² + 40x ma pierwszą współrzędną
- A10
- B−10
- C20
- D40
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 10 – p = −b przez 2a = −40 przez −4 = 10.
Masz 40 m siatki na trzy boki prostokątnej działki przy rzece. Największe możliwe pole to
- A200 m²
- B400 m²
- C100 m²
- D150 m²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 200 m² – P(x) = x(40 − 2x) ma maksimum w x = 10: 10 · 20 = 200 m².
Największe pole prostokąta o obwodzie 20 wynosi
- A24
- B20
- C25
- D100
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 25 – P(x) = x(10 − x) ma maksimum dla x = 5, czyli 5 · 5 = 25.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 w przedziale ⟨0, 3⟩ to
- A−2
- B1
- C0
- D−3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −3 – Wierzchołek p = 2 leży w przedziale, f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
Największa wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 w przedziale ⟨0, 3⟩ to
- A1
- B6
- C−2
- D−3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 – Porównujemy f(0) = 1, f(2) = −3 i f(3) = −2; największa jest 1.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 1 w przedziale ⟨3, 5⟩ to
- A−3
- B−2
- C6
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −2 – p = 2 leży poza przedziałem, a f na ⟨3, 5⟩ rośnie, więc najmniejsza jest f(3) = −2.
Suma dwóch liczb wynosi 12. Największy możliwy iloczyn tych liczb to
- A35
- B36
- C144
- D32
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 36 – Iloczyn x(12 − x) jest największy dla x = 6: 6 · 6 = 36.
Funkcja kwadratowa o współczynniku a < 0 ma wartość największą równą
- Aq = −Δ przez 4a
- Bp = −b przez 2a
- CΔ
- Df(0)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: q = −Δ przez 4a – To druga współrzędna wierzchołka; p mówi tylko, dla jakiego x ją osiągamy.
Cały dział „Powtórka maturalna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.