1Zasada: najpierw miejsca z ograniczeniem
- Rozpisz „miejsca” (np. cztery cyfry) i najpierw obsadź te, które mają warunek. Resztę dobierasz regułą mnożenia.
- Zero na początku nie tworzy liczby o zadanej liczbie cyfr. Kod 0123 jest dopuszczalny, ale liczba czterocyfrowa 0123 nie istnieje.
- Przypadki dziel tak, żeby się wykluczały, i dodawaj ich wyniki.
2Przykłady krok po kroku
- Zadanie: ile jest liczb trzycyfrowych parzystych?
- Dane: cyfra setek ≠ 0 (9 sposobów), cyfra dziesiątek dowolna (10), cyfra jedności ∈ {0, 2, 4, 6, 8} (5).
- Obliczenia (reguła mnożenia): 9 · 10 · 5 = 450.
- Odpowiedź: 450 liczb.
- Zadanie: ile jest liczb czterocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych? Obliczenia: 9 · 9 · 8 · 7 = 4536 (pierwsza cyfra: 9 sposobów, bo bez zera; druga: 9, bo wolno zero, ale nie użytą; potem 8 i 7).
Ile jest liczb czterocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych?
9 · 9 · 8 · 7 = 4536. Wynik 5040 dopuszcza zero na pierwszym miejscu.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3„Co najmniej” przez dopełnienie
- Liczby trzycyfrowe zawierające cyfrę 7 liczysz od końca: wszystkich jest 900, a bez siódemki 8 · 9 · 9 = 648 (setki: bez 0 i 7, dalej bez 7). Zawierających 7 jest 900 − 648 = 252.
4Rozbijanie na przypadki
- Zadanie maturalne: ile jest liczb czterocyfrowych parzystych, w których dokładnie raz występuje cyfra 0 i dokładnie raz cyfra 1?
- Przypadek 1, ostatnia cyfra 0: jedynka na jednym z 3 miejsc, dwie pozostałe cyfry z {2, …, 9}. Liczba: 3 · 8 · 8 = 192.
- Przypadek 2, ostatnia cyfra 2, 4, 6 lub 8 (4 sposoby): zero na 2. lub 3. miejscu (2 sposoby), jedynka na jednym z dwóch wolnych miejsc (2 sposoby), ostatnie wolne miejsce: cyfra spoza {0, 1} na 8 sposobów. Dla jednej cyfry: 2 · 2 · 8 = 32, więc razem 4 · 32 = 128.
- Odpowiedź: 192 + 128 = 320.
Zakaz obsadzaj najpierw, resztę dobieraj mnożeniem; gdy w zadaniu jest „co najmniej”, sprawdź dopełnienie.
Liczenie przypadków, które się nakładają, albo zapomnienie, że liczba nie może zaczynać się od zera.
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie występuje cyfra 7?
Wszystkich jest 900, bez siódemki 8 · 9 · 9 = 648, więc 900 − 648 = 252. Liczba 648 to te bez siódemki.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Zliczanie z warunkami
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Zakaz obsadzaj najpierw, resztę dobieraj mnożeniem; gdy w zadaniu jest „co najmniej”, sprawdź dopełnienie.
- Zero na początku nie tworzy liczby o zadanej liczbie cyfr. Kod 0123 jest dopuszczalny, ale liczba czterocyfrowa 0123 nie istnieje.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Ile jest liczb trzycyfrowych parzystych?
- A405
- B900
- C450
- D500
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 450 – 9 · 10 · 5 = 450. Wynik 500 pozwalałby na zero w setkach.
Ile jest liczb czterocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych?
- A4536
- B3024
- C9000
- D5040
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 4536 – 9 · 9 · 8 · 7 = 4536. Wynik 5040 dopuszcza zero na pierwszym miejscu.
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie występuje cyfra 7?
- A100
- B648
- C252
- D271
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 252 – Wszystkich jest 900, bez siódemki 8 · 9 · 9 = 648, więc 900 − 648 = 252. Liczba 648 to te bez siódemki.
Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5?
- A100
- B90
- C200
- D180
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 180 – Ostatnia cyfra to 0 lub 5 (2 sposoby): 9 · 10 · 2 = 180.
Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych o różnych cyfrach?
- A2296
- B2520
- C4536
- D2268
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2296 – Ostatnia 0: 9 · 8 · 7 = 504. Ostatnia 2, 4, 6 lub 8 (4 sposoby): pierwsza bez 0 i bez ostatniej (8), potem 8 i 7: 4 · 8 · 8 · 7 = 1792. Razem 504 + 1792 = 2296.
Ile jest 3-literowych słów z liter A, B, C, D (powtórzenia dozwolone), które zaczynają się od A?
- A12
- B16
- C64
- D4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 16 – Pierwsza litera ustalona, dwie kolejne po 4 możliwości: 4 · 4 = 16.
Ile jest liczb dwucyfrowych o cyfrach różnych?
- A72
- B81
- C90
- D100
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 81 – Dziesiątki: 9 sposobów (bez 0), jedności: 9 (wolno 0, ale nie cyfra dziesiątek): 9 · 9 = 81.
W zadaniu z „co najmniej jedna” najczęściej opłaca się policzyć
- Akażdy przypadek osobno i dodać
- Btylko przypadek z jedną sztuką
- Closowo wybrany przykład
- Dwszystkie możliwości i odjąć te bez żądanej cechy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: wszystkie możliwości i odjąć te bez żądanej cechy – Dopełnienie (brak cechy) ma zwykle jeden prosty przypadek, a „co najmniej” rozpada się na wiele.
Cały dział „Kombinatoryka”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.