1Schemat w czterech krokach
- Krok 1. Opisz Ω: co losujesz i co jest jednym wynikiem (para, trójka, liczba, zbiór).
- Krok 2. Policz |Ω| regułą mnożenia.
- Krok 3. Policz |A| (czasem przez dopełnienie).
- Krok 4. P(A) = |A| przez |Ω|, wynik skróć.
| słowo w zadaniu | co zwykle robisz |
|---|---|
| „po kolei”, „i” | reguła mnożenia |
| „lub”, osobne przypadki | dodajesz (rozłączne) albo wzór na sumę |
| „co najmniej jeden” | dopełnienie: 1 − P(brak) |
| „bez zwracania” | liczby maleją w kolejnych krokach |
Które słowa w zadaniu podpowiadają użycie dopełnienia?
„Co najmniej jeden” ma wiele przypadków, a jego dopełnienie jeden.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Przykłady krok po kroku
- Liczby z cyfr 1, 2, 3, 4, 5. Tworzymy liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach i losujemy jedną. Ile wynosi P(parzysta)?
- Ω: wszystkie takie liczby, |Ω| = 5 · 4 · 3 = 60.
- A: ostatnia cyfra 2 lub 4 (2 sposoby), potem pozostałe miejsca 4 · 3, więc |A| = 2 · 4 · 3 = 24.
- Odpowiedź: P(A) = 24 przez 60 = 2 przez 5.
- Dwie kostki, iloczyn oczek nieparzysty. |Ω| = 36. Iloczyn jest nieparzysty, gdy obie liczby są nieparzyste: 3 · 3 = 9. P = 9 przez 36 = 1 przez 4.
- W klasie 6 dziewcząt i 4 chłopców, wybieramy po kolei 2 osoby. P(co najmniej jedna dziewczyna). Dopełnienie: obaj chłopcy. P(obaj chłopcy) = 4 przez 10 · 3 przez 9 = 12 przez 90 = 2 przez 15. Odpowiedź: P = 1 − 2 przez 15 = 13 przez 15.
Opisz Ω, policz |Ω| i |A| osobno, a gdy jest „co najmniej”, zacznij od dopełnienia.
Mieszanie modeli, np. licznik jako kombinacje, a mianownik jako ciągi. |A| i |Ω| muszą liczyć ten sam typ wyników (oba uporządkowane albo oba nieuporządkowane).
✎Ściąga: Kombinatoryka i prawdopodobieństwo na maturze: jak to ugryźć
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Opisz Ω, policz |Ω| i |A| osobno, a gdy jest „co najmniej”, zacznij od dopełnienia.
- Liczby z cyfr 1, 2, 3, 4, 5. Tworzymy liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach i losujemy jedną. Ile wynosi P(parzysta)?
- Dwie kostki, iloczyn oczek nieparzysty. |Ω| = 36. Iloczyn jest nieparzysty, gdy obie liczby są nieparzyste: 3 · 3 = 9. P = 9 przez 36 = 1 przez 4.
- W klasie 6 dziewcząt i 4 chłopców, wybieramy po kolei 2 osoby. P(co najmniej jedna dziewczyna). Dopełnienie: obaj chłopcy. P(obaj chłopcy) = 4 przez 10 · 3 przez 9 = 12 przez 90 = 2 przez 15. Odpowiedź: P = 1 − 2 przez 15 = 13 przez 15.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 tworzysz liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Ile ich jest?
- A15
- B125
- C60
- D10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 60 – 5 · 4 · 3 = 60. Wynik 125 dopuszcza powtórzenia.
Wśród tych 60 liczb parzystych jest
- A30
- B12
- C36
- D24
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 24 – Ostatnia cyfra 2 lub 4 (2 sposoby), potem 4 · 3: 2 · 12 = 24.
P(wylosowana liczba jest parzysta) wynosi
- A2 przez 5
- B1 przez 3
- C1 przez 2
- D3 przez 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 przez 5 – 24 przez 60 = 2 przez 5.
Rzucasz dwiema kostkami. P(iloczyn oczek jest nieparzysty) wynosi
- A1 przez 4
- B3 przez 4
- C1 przez 2
- D1 przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 przez 4 – Obie liczby muszą być nieparzyste: 3 · 3 przez 36 = 1 przez 4.
Wśród 10 osób jest 6 dziewcząt i 4 chłopców. Losujesz po kolei dwie osoby. P(obaj chłopcy) wynosi
- A1 przez 10
- B4 przez 25
- C2 przez 15
- D2 przez 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2 przez 15 – 4 przez 10 · 3 przez 9 = 12 przez 90 = 2 przez 15.
P(co najmniej jedna dziewczyna) w tym losowaniu wynosi
- A3 przez 5
- B2 przez 15
- C1 przez 2
- D13 przez 15
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 13 przez 15 – 1 − 2 przez 15 = 13 przez 15.
Które słowa w zadaniu podpowiadają użycie dopełnienia?
- A„dokładnie dwa”
- B„co najmniej jeden”
- C„w tej kolejności”
- D„po kolei”
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: „co najmniej jeden” – „Co najmniej jeden” ma wiele przypadków, a jego dopełnienie jeden.
Co należy zrobić w rozwiązaniu jako pierwsze?
- APodać wynik
- BSkrócić ułamek
- COpisać Ω i podać |Ω|
- DPoliczyć |A|
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: Opisać Ω i podać |Ω| – Bez opisu Ω nie wiadomo, co liczysz w liczniku i mianowniku.
Cały dział „Powtórka maturalna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.