ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Podobieństwo i stereometriaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/graniastoslupy-i-ostroslupy-objetosc-i-pole/

Matematyka · Podobieństwo i stereometria · kl. 3

Graniastosłupy i ostrosłupy: objętość i pole

Wzory na objętość i pole graniastosłupów i ostrosłupów oraz pilnowanie, o którą wysokość chodzi.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Graniastosłup prosty

Zapamiętaj

V = Pp · h, Pb = Ob · h, Pc = 2Pp + Pb

  • Pp to pole podstawy [cm²], h to wysokość graniastosłupa [cm], Ob to obwód podstawy [cm], Pb to pole boczne [cm²], Pc to pole całkowite [cm²], V to objętość [cm³].
Hpodstawa (Pp)podstawa
Graniastosłup prosty: dwie przystające podstawy i wysokość prostopadła do nich (na rysunku H, we wzorach h).
  • Dane: graniastosłup prawidłowy trójkątny, krawędź podstawy a = 4 cm, wysokość h = 5 cm.
  • Pole podstawy (trójkąt równoboczny): Pp = a2pierwiastek z 3 przez 4 = 16pierwiastek z 3 przez 4 = 4pierwiastek z 3 cm².
  • V = 4pierwiastek z 3 · 5 = 20pierwiastek z 3 cm³. Ob = 12 cm, więc Pb = 12 · 5 = 60 cm² i Pc = 8pierwiastek z 3 + 60 cm².
Sprawdź, czy rozumiesz

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 4 i wysokość 5. Objętość jest równa

2Ostrosłup

Zapamiętaj

V = 1 przez 3 · Pp · H, Pc = Pp + Pb

  • H to wysokość ostrosłupa [cm], prowadzona od wierzchołka prostopadle do podstawy; Pb to suma pól ścian bocznych.
Hhpodstawa – kwadrat
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: wysokość H i wysokość ściany bocznej (na rysunku h, w obliczeniach hb).
  • Dane: ostrosłup prawidłowy czworokątny, a = 6 cm, H = 4 cm.
  • Krok 1: wysokość ściany bocznej: hb2 = H2 + (a przez 2)2 = 16 + 9 = 25, więc hb = 5 cm.
  • Krok 2: V = 1 przez 3 · 36 · 4 = 48 cm³.
  • Krok 3: Pb = 4 · 1 przez 2 · 6 · 5 = 60 cm², więc Pc = 36 + 60 = 96 cm².
  • Ostrosłup n-kątny ma 2n krawędzi; sześciokątny – 12.
Uwaga na błąd

Wysokość ściany bocznej wstawiona do wzoru na objętość albo pominięty czynnik 1 przez 3. We wzorze na V jest wysokość bryły, prostopadła do podstawy.

  • Kąty nachylenia ścian i krawędzi do podstawy liczysz z trygonometrii w trójkątach prostokątnych (temat „Kąty w przestrzeni”), a bryły złożone dzielisz na proste.

✎Ściąga: Graniastosłupy i ostrosłupy: objętość i pole

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • V = Pp · h, Pb = Ob · h, Pc = 2Pp + Pb
  • V = 1 przez 3 · Pp · H, Pc = Pp + Pb

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Objętość prostopadłościanu o wymiarach 2 × 3 × 5 jest równa

    1. A31
    2. B62
    3. C30
    4. D10
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 30 – V = 2 · 3 · 5 = 30.

  2. Pole podstawy ostrosłupa wynosi 12, a jego wysokość 5. Objętość jest równa

    1. A30
    2. B60
    3. C20
    4. D17
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 20 – V = 1 przez 3 · 12 · 5 = 20.

  3. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 4 i wysokość 5. Objętość jest równa

    1. A20pierwiastek z 3
    2. B20
    3. C40pierwiastek z 3
    4. D60
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 20pierwiastek z 3 – Pp = 16pierwiastek z 3 przez 4 = 4pierwiastek z 3, więc V = 4pierwiastek z 3 · 5 = 20pierwiastek z 3.

  4. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym a = 6 i H = 4. Wysokość ściany bocznej wynosi

    1. A7
    2. B10
    3. Cpierwiastek z 52
    4. D5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 5 – hb = pierwiastek z 42 + 32 = 5 (3 to połowa krawędzi podstawy).

  5. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa z poprzedniego zadania (a = 6, H = 4) jest równe

    1. A84
    2. B60
    3. C120
    4. D96
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 96 – Pc = 36 + 4 · 1 przez 2 · 6 · 5 = 36 + 60 = 96.

  6. Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi 2 jest równe

    1. A12
    2. B24
    3. C8
    4. D48
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 24 – Pc = 6 · 22 = 24.

  7. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 6 i wysokość 2pierwiastek z 3. Jego objętość jest równa

    1. A18pierwiastek z 3
    2. B54
    3. C6
    4. D18
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 18 – Pp = 36pierwiastek z 3 przez 4 = 9pierwiastek z 3, V = 1 przez 3 · 9pierwiastek z 3 · 2pierwiastek z 3 = 1 przez 3 · 54 = 18.

  8. Ile krawędzi ma ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt?

    1. A18
    2. B12
    3. C7
    4. D6
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 12 – Ma 6 krawędzi podstawy i 6 krawędzi bocznych.

Cały dział „Podobieństwo i stereometria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku