ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Podobieństwo i stereometriaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/podobienstwo-figur-i-twierdzenie-talesa-w-zadaniach/

Matematyka · Podobieństwo i stereometria · kl. 3

Podobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniach

Figury podobne to ta sama figura w innej skali – cechy podobieństwa trójkątów, pola i obwody w skali oraz twierdzenie Talesa w zadaniach z cieniem i pomiarem.

ok. 3 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Cechy podobieństwa trójkątów

  • Trójkąty są podobne, gdy mają równe odpowiednie kąty i proporcjonalne odpowiednie boki.
  • Wystarczy jedna z cech: bbb (trzy pary proporcjonalnych boków), bkb (dwie pary proporcjonalnych boków i równy kąt między nimi) albo kk (dwie pary równych kątów – trzecia para wychodzi sama).
  • Przykład: trójkąty o bokach 3, 4, 5 oraz 6, 8, 10 są podobne w skali k = 2.
4358610k = 2
Dwa trójkąty podobne w skali k = 2: boki 3, 4, 5 oraz 6, 8, 10.

2Skala podobieństwa

  • k to skala podobieństwa: stosunek długości odpowiednich odcinków (większa figura do mniejszej, więc k > 1).
Zapamiętaj

Długości (w tym obwody) zmieniają się k razy, a pola k2 razy.

  • Dane: trójkąt o polu 8, k = 3, obwód 12. Obwód większego: 12 · 3 = 36. Pole większego: 8 · 32 = 72.
  • Stosunek pól 9 : 25 oznacza skalę 3 : 5, bo skala to pierwiastek ze stosunku pól.
Uwaga na błąd

Skala k zastosowana do pól. Przy k = 3 pole rośnie 9 razy, a nie 3 razy.

Sprawdź, czy rozumiesz

Które dane wystarczają do stwierdzenia podobieństwa dwóch trójkątów?

3Twierdzenie Talesa

  • Proste równoległe AC i BD tną ramiona kąta o wierzchołku O (A, B na jednym ramieniu, C, D na drugim) na odcinki proporcjonalne.
Zapamiętaj

OA przez OB = OC przez OD oraz OA przez AB = OC przez CD

OABCD|OA||AB||OC||CD|AC ∥ BD
Twierdzenie Talesa: proste równoległe wycinają na ramionach kąta proporcjonalne odcinki.
  • Dane: OA = 4, AB = 2, OC = 6, AC ∥ BD. Szukamy CD.
  • Wzór (Tales): OA przez AB = OC przez CD.
  • Obliczenia: 4 przez 2 = 6 przez CD, więc 4 · CD = 12 i CD = 3.
  • Odpowiedź: CD = 3 (w tych samych jednostkach co dane).
  • Cień: kij 2 m rzuca cień 3 m, drzewo cień 12 m. 2 przez 3 = h przez 12, więc h = 8 m.

✎Ściąga: Podobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniach

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Długości (w tym obwody) zmieniają się k razy, a pola k2 razy.
  • OA przez OB = OC przez OD oraz OA przez AB = OC przez CD

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Trójkąty o bokach 3, 4, 5 oraz 6, 8, 10 są podobne. Skala podobieństwa większego do mniejszego wynosi

    1. A1 przez 2
    2. B3
    3. C2
    4. D4
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 2 – Każdy bok większego jest dwa razy dłuższy: 6 przez 3 = 8 przez 4 = 10 przez 5 = 2.

  2. Trójkąty są podobne w skali 3, a pole mniejszego wynosi 8. Pole większego jest równe

    1. A36
    2. B72
    3. C11
    4. D24
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 72 – Pola zmieniają się k2 = 9 razy, więc 8 · 9 = 72.

  3. Obwód mniejszego trójkąta wynosi 12, a skala podobieństwa większego do mniejszego to 2,5. Obwód większego jest równy

    1. A24
    2. B30
    3. C14,5
    4. D75
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 30 – Obwód zmienia się k razy: 12 · 2,5 = 30.

  4. Proste AC i BD są równoległe; punkty A, B leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O, a C, D na drugim. Jeśli OA = 4, AB = 2 i OC = 6, to CD jest równe

    1. A4
    2. B2
    3. C12
    4. D3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 3 – Z OA przez AB = OC przez CD: 4 przez 2 = 6 przez CD, więc CD = 3.

  5. Które dane wystarczają do stwierdzenia podobieństwa dwóch trójkątów?

    1. ARówne obwody
    2. BJedna para równych kątów
    3. CDwie pary równych kątów
    4. DRówne pola
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: Dwie pary równych kątów – Dwa równe kąty wyznaczają trzeci, więc trójkąty mają te same kąty (cecha kk).

  6. Dwa trójkąty podobne mają stosunek pól 9 : 25. Skala podobieństwa wynosi

    1. A9 : 25
    2. B3 : 5
    3. C3 : 25
    4. D81 : 625
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 3 : 5 – Skala jest pierwiastkiem ze stosunku pól: pierwiastek z 9 : pierwiastek z 25 = 3 : 5.

  7. Kij o długości 2 m rzuca cień 3 m. W tym samym czasie drzewo rzuca cień 12 m. Wysokość drzewa wynosi

    1. A18 m
    2. B6 m
    3. C14 m
    4. D8 m
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 8 m – Trójkąty są podobne: 2 przez 3 = h przez 12, więc h = 8.

  8. Figurę pomniejszono w skali 1 przez 2. Jej pole jest

    1. Aosiem razy mniejsze
    2. Bdwa razy mniejsze
    3. Ccztery razy mniejsze
    4. Ddwa razy większe
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: cztery razy mniejsze – Pole zmienia się k2 = 1 przez 4 razy.

Cały dział „Podobieństwo i stereometria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku