1Zapis rozwiązania
- Zadanie otwarte rozwiązuj w kolejności: oznaczenia i założenia, model (równanie, nierówność, funkcja), obliczenia, sprawdzenie warunków (np. dziedzina, n liczba naturalna), odpowiedź.
Przykłady liczbowe mogą podpowiedzieć tezę, ale jej nie dowodzą. Dowód musi objąć wszystkie dopuszczalne wartości.
2Dowody w ciągach
- Ciąg jest arytmetyczny, gdy an+1 − an jest stałe. Dla an = 3n + 1: 3(n + 1) + 1 − (3n + 1) = 3 dla każdego n.
- Suma arytmetyczna: a1 + an = a2 + an−1 = …, więc 2Sn = n(a1 + an) i Sn = n(a1 + an) przez 2.
3Dowody o podzielności
- Liczba parzysta to 2k, nieparzysta 2k + 1 (k całkowite).
- Suma trzech kolejnych liczb całkowitych: (n − 1) + n + (n + 1) = 3n, więc dzieli się przez 3.
- Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty, bo jedna z nich jest parzysta.
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty, ponieważ
Spośród dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, więc w iloczynie jest czynnik 2.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
4Indukcja (dodatek)
- Dodatek, poza wymaganiami: indukcja to metoda dowodzenia dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Krok 1: sprawdź n = 1. Krok 2: załóż tezę dla n = k i udowodnij dla n = k + 1.
- Teza: 1 + 2 + … + n = n(n + 1) przez 2.
- Krok 1: dla n = 1 lewa strona to 1, prawa 1 · 2 przez 2 = 1.
- Krok 2: z założenia 1 + … + k = k(k + 1) przez 2, więc 1 + … + k + (k + 1) = k(k + 1) przez 2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) przez 2 – to teza dla k + 1.
5Kontrola wyniku
- Sprawdź, czy wynik pasuje do treści (długość dodatnia, liczba osób całkowita, rozwiązanie z dziedziny). Wyszedł bok −3? Odrzuć wynik i sprawdź rachunki.
Sprawdzenie tezy dla n = 1, 2, 3 i uznanie jej za udowodnioną dla wszystkich n.
W zadaniu geometrycznym otrzymano długość boku −3. Należy
Długość nie może być ujemna, więc wynik jest sprzeczny z warunkami zadania.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Dowodzenie zależności i kontrola wyniku
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Przykłady liczbowe mogą podpowiedzieć tezę, ale jej nie dowodzą. Dowód musi objąć wszystkie dopuszczalne wartości.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Czy sprawdzenie własności dla n = 1, 2 i 3 dowodzi jej dla każdej liczby naturalnej n?
- ATak, jeśli wyniki są parzyste
- BNie, to tylko przykłady
- CTak, jeśli n jest małe
- DTak, jeśli wyniki są zgodne
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Nie, to tylko przykłady – Dowód musi obejmować wszystkie n, a przykłady mogą nie ujawnić wyjątków.
Liczbę nieparzystą można zapisać jako
- A2k + 1 (k całkowite)
- B2k + 2
- C2k
- Dk + 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2k + 1 (k całkowite) – Liczba o postaci 2k + 1 daje resztę 1 z dzielenia przez 2.
Suma trzech kolejnych liczb całkowitych n − 1, n, n + 1 jest równa
- A3n + 1
- Bn3
- C3n
- D3n − 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 3n – (n − 1) + n + (n + 1) = 3n.
Aby wykazać, że ciąg jest arytmetyczny, pokazujemy, że an+1 − an jest
- Astałą liczbą dla każdego n
- Bwiększa od 1
- Crówna a1
- Ddodatnia dla n = 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: stałą liczbą dla każdego n – To definicja ciągu arytmetycznego.
Dla ciągu an = 3n + 1 różnica an+1 − an jest równa
- A3
- B1
- C4
- D3n
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3 – 3(n + 1) + 1 − (3n + 1) = 3.
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty, ponieważ
- Aich suma jest parzysta
- Biloczyn dzieli się przez 4
- Cobie liczby są nieparzyste
- Djedna z tych liczb jest parzysta
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: jedna z tych liczb jest parzysta – Spośród dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, więc w iloczynie jest czynnik 2.
Dodatek – indukcja: po sprawdzeniu n = 1 zakładamy tezę dla n = k i dowodzimy jej dla
- An = 2k
- Bn = k + 1
- Cn = k2
- Dn = k − 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: n = k + 1 – Drugi krok indukcji to przejście od k do k + 1.
W zadaniu geometrycznym otrzymano długość boku −3. Należy
- Aodrzucić wynik i sprawdzić założenia oraz rachunki
- Bzaokrąglić wynik do zera
- Czmienić znak bez uzasadnienia
- Dzostawić wartość bezwzględną bez komentarza
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: odrzucić wynik i sprawdzić założenia oraz rachunki – Długość nie może być ujemna, więc wynik jest sprzeczny z warunkami zadania.
Cały dział „Statystyka i uzasadnianie”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.