1Wspólny mianownik
- Aby dodać lub odjąć wyrażenia wymierne, sprowadź je do wspólnego mianownika i zapisz założenia.
- 1 przez x + 1 przez x² + 1 przez x³ (x ≠ 0): wspólny mianownik x³, wynik x² + x + 1 przez x³.
- Dane: 2 przez x − 1 − 3 przez x + 1, x ≠ ±1. Obliczenia: 2(x + 1) − 3(x − 1) przez (x − 1)(x + 1) = 2x + 2 − 3x + 3 przez x² − 1. Odpowiedź: 5 − x przez x² − 1.
- 1 przez x + 1 − 1 przez x = x − (x + 1) przez x(x + 1) = −1 przez x(x + 1) dla x ≠ −1 i x ≠ 0.
Wynik dodawania 1 przez x + 1 przez x² + 1 przez x³ to
Wspólny mianownik to x³: x² + x + 1 w liczniku.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Nierówności wymierne
Nie mnóż nierówności przez wyrażenie, którego znaku nie znasz. Przenieś wszystko na jedną stronę i zamień iloraz na iloczyn: W przez V > 0 jest równoważne W · V > 0 (V ≠ 0).
- Przy ≥ lub ≤ miejsca zerowe licznika należą do rozwiązania, a mianownika – nigdy.
- Dane: x − 1 przez x + 2 > 0. Zamiana: (x − 1)(x + 2) > 0. Odpowiedź: x ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞).
- Dane: x − 1 przez x + 2 ≥ 0. Teraz x = 1 należy do rozwiązania, a x = −2 nie. Odpowiedź: x ∈ (−∞, −2) ∪ ⟨1, +∞).
- Krok po kroku: 2 przez x ≥ 1. Dziedzina: x ≠ 0.
- Przenosimy wszystko na lewą stronę: 2 przez x − 1 ≥ 0, czyli 2 − x przez x ≥ 0.
- Zamieniamy iloraz na iloczyn: (2 − x) · x ≥ 0 i x ≠ 0. Parabola o miejscach zerowych 0 i 2 ma ramiona w dół.
- Odpowiedź: x ∈ (0, 2⟩ (0 odpada – zeruje mianownik).
- Dane: x + 1 przez x − 3 ≤ 2. Obliczenia: x + 1 − 2(x − 3) przez x − 3 = 7 − x przez x − 3 ≤ 0, więc (7 − x)(x − 3) ≤ 0 przy x ≠ 3. Odpowiedź: x ∈ (−∞, 3) ∪ ⟨7, +∞).
Pomnożenie 2 przez x ≥ 1 przez x bez sprawdzenia znaku x. Dla x < 0 trzeba by odwrócić znak nierówności – dlatego przenosimy wszystko na jedną stronę.
✎Ściąga: Dodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierne
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Nie mnóż nierówności przez wyrażenie, którego znaku nie znasz. Przenieś wszystko na jedną stronę i zamień iloraz na iloczyn: W przez V > 0 jest równoważne W · V > 0 (V ≠ 0).
- Krok po kroku: 2 przez x ≥ 1. Dziedzina: x ≠ 0.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wynik dodawania 1 przez x + 1 przez x² + 1 przez x³ to
- A3 przez x⁶
- Bx² + x + 1 przez x³
- Cx³ + x² + x przez x³
- D3 przez x³
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x² + x + 1 przez x³ – Wspólny mianownik to x³: x² + x + 1 w liczniku.
Wynik odejmowania 2 przez x − 1 − 3 przez x + 1 to
- A5 − x przez x² − 1
- B−1 przez x² − 1
- Cx − 5 przez x² − 1
- D−1 przez x
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 5 − x przez x² − 1 – 2(x + 1) − 3(x − 1) = 5 − x.
Nierówność x − 1 przez x + 2 > 0 zamieniamy na
- Ax − 1 > 0
- Bx − 1 > x + 2
- C(x − 1)(x + 2) > 0
- D(x − 1)(x + 2) ≥ 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (x − 1)(x + 2) > 0 – Iloraz i iloczyn mają ten sam znak (przy x ≠ −2).
Rozwiązaniem nierówności x − 1 przez x + 2 ≥ 0 jest
- A(−∞, −2) ∪ ⟨1, +∞)
- B(−2, 1⟩
- C⟨−2, 1⟩
- D(−∞, −2⟩ ∪ ⟨1, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (−∞, −2) ∪ ⟨1, +∞) – x = 1 należy (licznik zero), x = −2 nie.
Rozwiązaniem nierówności 2 przez x ≥ 1 jest
- A(−∞, 2⟩
- B(2, +∞)
- C⟨0, 2⟩
- D(0, 2⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (0, 2⟩ – 2 − x przez x ≥ 0, więc (2 − x)x ≥ 0 przy x ≠ 0.
Rozwiązaniem nierówności x + 1 przez x − 3 ≤ 2 jest
- A⟨3, 7⟩
- B(−∞, 3) ∪ ⟨7, +∞)
- C(−∞, 7⟩
- D⟨7, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (−∞, 3) ∪ ⟨7, +∞) – 7 − x przez x − 3 ≤ 0, czyli (7 − x)(x − 3) ≤ 0 przy x ≠ 3.
Czemu nie wolno pomnożyć 2 przez x ≥ 1 przez x?
- ABo x jest niewiadomą
- BBo wynik byłby wymierny
- CWolno, zawsze bez zmiany znaku
- DNie znamy znaku x; dla x < 0 trzeba odwrócić znak
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Nie znamy znaku x; dla x < 0 trzeba odwrócić znak – Mnożenie przez wyrażenie o nieznanym znaku może zmienić nierówność.
Miejsce zerowe mianownika w nierówności wymiernej
- Anigdy nie należy do rozwiązania
- Bnależy, jeśli nierówność jest nieostra
- Czawsze należy do rozwiązania
- Djest zawsze miejscem zerowym licznika
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: nigdy nie należy do rozwiązania – Dzielenie przez zero nie ma sensu, więc te punkty są wykluczone.
Cały dział „Wyrażenia wymierne”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.