ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Podobieństwo i stereometriaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/walec-stozek-kula-i-bryly-podobne/

Matematyka · Podobieństwo i stereometria · kl. 3

Walec, stożek, kula i bryły podobne

Wzory na objętość i pole walca, stożka i kuli oraz to, jak zmieniają się pola i objętości, gdy bryłę powiększysz w skali.

ok. 3 min czytania10 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Walec

Zapamiętaj

V = πr2h, Pb = 2πrh, Pc = 2πr(r + h)

  • r to promień podstawy [cm], h to wysokość [cm]; pola w cm², objętość w cm³.
rhpowierzchnia boczna2πrhpodstawapodstawa
Walec i jego siatka: prostokąt 2πr na h oraz dwa koła o promieniu r.
  • Dane: r = 3 cm, h = 5 cm. Obliczenia: V = π · 9 · 5 = 45π cm³, Pb = 2π · 3 · 5 = 30π cm², Pc = 2π · 3 · (3 + 5) = 48π cm².

2Stożek

  • Stożek powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej. Oprócz r i h ma tworzącą l: l2 = r2 + h2.
Zapamiętaj

V = 1 przez 3πr2h, Pb = πrl, Pc = πr(r + l)

hrlprzekrój osiowylłuk = 2πrθ = 360° · r/lrozwinięcie powierzchni bocznej
Stożek, jego przekrój osiowy i rozwinięcie powierzchni bocznej.
  • Powierzchnia boczna to wycinek koła o promieniu l i długości łuku 2πr; jego kąt środkowy to 360° · r przez l.
  • Krok po kroku. Dane: stożek, r = 3 cm, h = 4 cm.
  • Krok 1 (tworząca): l = pierwiastek z r2 + h2 = pierwiastek z 9 + 16 = 5 cm.
  • Krok 2 (objętość): V = 1 przez 3π · 32 · 4 = 12π cm³.
  • Krok 3 (pola): Pb = π · 3 · 5 = 15π cm², Pc = π · 3 · (3 + 5) = 24π cm².
  • Kąt wycinka: 360° · 3 przez 5 = 216°.
Sprawdź, czy rozumiesz

Stożek ma promień podstawy 3 i wysokość 4. Jego tworząca ma długość

3Kula

Zapamiętaj

V = 4 przez 3πr3, P = 4πr2

  • Dla r = 3: V = 4 przez 3π · 27 = 36π, P = 36π.

4Bryły podobne

Zapamiętaj

W skali k długości zmieniają się k razy, pola k2 razy, a objętości k3 razy.

  • Kula o 3 razy większym promieniu ma 27 razy większą objętość i 9 razy większe pole. Skala 2 daje objętość 8 razy większą.
Uwaga na błąd

Pomnożenie objętości przez k albo k2 zamiast k3.

Sprawdź, czy rozumiesz

Promień kuli zwiększono 3 razy. Jej objętość wzrosła

✎Ściąga: Walec, stożek, kula i bryły podobne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • V = πr2h, Pb = 2πrh, Pc = 2πr(r + h)
  • V = 1 przez 3πr2h, Pb = πrl, Pc = πr(r + l)
  • V = 4 przez 3πr3, P = 4πr2
  • W skali k długości zmieniają się k razy, pola k2 razy, a objętości k3 razy.
  • Krok po kroku. Dane: stożek, r = 3 cm, h = 4 cm.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Objętość walca o promieniu podstawy 3 i wysokości 5 jest równa

    1. A45π
    2. B15π
    3. C30π
    4. D90π
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 45π – V = πr2h = π · 9 · 5 = 45π.

  2. Pole boczne walca o promieniu podstawy 3 i wysokości 5 jest równe

    1. A30π
    2. B48π
    3. C45π
    4. D15π
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 30π – Pb = 2πrh = 2π · 3 · 5 = 30π.

  3. Stożek ma promień podstawy 3 i wysokość 4. Jego tworząca ma długość

    1. Apierwiastek z 7
    2. B12
    3. C5
    4. D7
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 5 – l = pierwiastek z 32 + 42 = 5.

  4. Objętość stożka o promieniu podstawy 3 i wysokości 4 jest równa

    1. A36π
    2. B4π
    3. C12π
    4. D15π
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 12π – V = 1 przez 3π · 9 · 4 = 12π.

  5. Pole powierzchni całkowitej stożka o r = 3 i l = 5 jest równe

    1. A15π
    2. B24π
    3. C36π
    4. D21π
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 24π – Pc = πr(r + l) = π · 3 · 8 = 24π.

  6. Objętość kuli o promieniu 3 jest równa

    1. A108π
    2. B12π
    3. C9π
    4. D36π
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 36π – V = 4 przez 3π · 27 = 36π.

  7. Promień kuli zwiększono 3 razy. Jej objętość wzrosła

    1. A3 razy
    2. B9 razy
    3. C27 razy
    4. D81 razy
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 27 razy – Objętość zmienia się k3 = 27 razy.

  8. Powierzchnia boczna stożka o r = 3 i l = 5 po rozwinięciu to wycinek koła o kącie środkowym

    1. A135°
    2. B216°
    3. C144°
    4. D108°
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 216° – Kąt wycinka to 360° · r przez l = 360° · 3 przez 5 = 216°.

Cały dział „Podobieństwo i stereometria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 10🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i polePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku