1Proste w przestrzeni
- Dwie proste w przestrzeni mogą być równoległe, przecinać się albo być skośne: nie mają punktu wspólnego i nie leżą w jednej płaszczyźnie.
- Skośne mogą być też prostopadłe. W sześcianie ABCDEFGH (podstawa ABCD, E nad A) krawędź AB leży w podstawie, a CG jest pionowa – są skośne i prostopadłe.
2Kąt prostej z płaszczyzną
Kąt prostej z płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Ma od 0° do 90°.
- Rzut punktu na płaszczyznę to spodek prostopadłej opuszczonej z tego punktu.
- Dane: sześcian o krawędzi a. Szukamy kąta α między przekątną AG a podstawą.
- Rzut AG na podstawę to przekątna podstawy AC = apierwiastek z 2; CG = a jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt ACG ma kąt prosty przy C.
- Wzór: tg α = CG przez AC. Obliczenia: tg α = a przez apierwiastek z 2 = pierwiastek z 2 przez 2 ≈ 0,707.
- Odpowiedź: α ≈ 35,3° (odczyt z tablic lub kalkulatora).
W sześcianie ABCDEFGH (podstawa ABCD, E nad A) proste AB i CG są
AB leży w podstawie, a CG jest pionową krawędzią w innym wierzchołku. Nie mają punktu wspólnego i nie są równoległe, więc są skośne, a kierunki AB i CG są prostopadłe.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Kąt dwuścienny
- Dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi k tworzą kąt dwuścienny. Mierzysz go kątem liniowym: w obu półpłaszczyznach prowadzisz półproste prostopadłe do k w tym samym punkcie – kąt między nimi to szukany kąt φ.
- W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym (H – wysokość, a – krawędź podstawy) kąt ściany bocznej z podstawą β spełnia tg β = H przez a przez 2, a kąt krawędzi bocznej z podstawą γ spełnia tg γ = H przez apierwiastek z 2 przez 2.
- Dane: H = 6, a = 12. Obliczenia: tg β = 6 przez 6 = 1. Odpowiedź: β = 45°.
Trójkąt, który nie zawiera szukanego kąta, albo krawędź podstawy użyta zamiast jej połowy. Zawsze sprawdź, czy ramiona kąta leżą w wybranym trójkącie i czy jest on prostokątny.
✎Ściąga: Kąty w przestrzeni
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Kąt prostej z płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Ma od 0° do 90°.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość
- A3a
- Bapierwiastek z 2
- C2a
- Dapierwiastek z 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: apierwiastek z 3 – d = pierwiastek z a2 + a2 + a2 = apierwiastek z 3.
Dla przekątnej sześcianu i płaszczyzny jego podstawy kąt α spełnia
- Atg α = pierwiastek z 2
- Btg α = pierwiastek z 3
- Ctg α = 1
- Dtg α = pierwiastek z 2 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: tg α = pierwiastek z 2 przez 2 – Rzut przekątnej na podstawę ma długość apierwiastek z 2, a wysokość to a, więc tg α = a przez apierwiastek z 2 = pierwiastek z 2 przez 2.
Kąt prostej z płaszczyzną to kąt między tą prostą a
- Aprostą prostopadłą do płaszczyzny
- Bkrawędzią płaszczyzny
- Cdowolną prostą leżącą w płaszczyźnie
- Djej rzutem prostokątnym na płaszczyznę
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę – Taka jest definicja kąta prostej z płaszczyzną.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym H = 6 i krawędź podstawy a = 12. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy ma miarę
- A60°
- B90°
- C30°
- D45°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 45° – tg β = 6 przez 6 = 1, więc β = 45° (połowa krawędzi podstawy to 6).
W sześcianie ABCDEFGH (podstawa ABCD, E nad A) proste AB i CG są
- Askośne i prostopadłe
- Bprzecinające się pod kątem prostym
- Cprzecinające się
- Drównoległe
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: skośne i prostopadłe – AB leży w podstawie, a CG jest pionową krawędzią w innym wierzchołku. Nie mają punktu wspólnego i nie są równoległe, więc są skośne, a kierunki AB i CG są prostopadłe.
Kąt dwuścienny mierzymy za pomocą
- Akąta między dwiema krawędziami
- Bkąta między krawędzią a podstawą
- Ckąta liniowego (półproste prostopadłe do krawędzi w obu półpłaszczyznach)
- Dsumy kątów ścian
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: kąta liniowego (półproste prostopadłe do krawędzi w obu półpłaszczyznach) – Półproste prostopadłe do krawędzi w tym samym punkcie oddają rozwarcie półpłaszczyzn.
Przekątna prostopadłościanu o krawędziach 3, 4 i 12 ma długość
- A12
- Bpierwiastek z 19
- C19
- D13
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 13 – d = pierwiastek z 32 + 42 + 122 = pierwiastek z 169 = 13.
Kąt krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego z płaszczyzną podstawy leży w trójkącie prostokątnym o bokach
- Awysokość ściany, krawędź boczna, krawędź podstawy
- Bwysokość, połowa krawędzi podstawy, wysokość ściany
- Ckrawędź podstawy, przekątna podstawy, krawędź boczna
- Dwysokość, połowa przekątnej podstawy, krawędź boczna
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: wysokość, połowa przekątnej podstawy, krawędź boczna – Rzut krawędzi bocznej na podstawę to odcinek od środka podstawy do wierzchołka, czyli połowa przekątnej.
Cały dział „Podobieństwo i stereometria”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.