1Treść twierdzenia
- Zwykły Tales działa w jedną stronę: z równoległości wychodzi proporcja. Twierdzenie odwrotne idzie w drugą: z proporcji wychodzi równoległość.
Jeśli A, B leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O, C, D na drugim, i OA przez OB = OC przez OD, to proste AC i BD są równoległe.
- OA, OB, OC, OD to długości odcinków od wierzchołka O (w tych samych jednostkach). Równoważnie: OA przez AB = OC przez CD.
2Jak to sprawdzić
- Dane: OA = 3, OB = 9, OC = 4, OD = 12. Pytanie: czy AC ∥ BD?
- Obliczenia: OA przez OB = 3 przez 9 = 1 przez 3 oraz OC przez OD = 4 przez 12 = 1 przez 3.
- Stosunki są równe, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odpowiedź: AC ∥ BD.
- Dane: OA = 4, OB = 10, OC = 6, OD = 14. Obliczenia: 4 przez 10 = 2 przez 5, a 6 przez 14 = 3 przez 7, to są różne liczby. Odpowiedź: AC i BD nie są równoległe.
Porównywanie nie tych odcinków. Zawsze zestawiaj „odcinek z odcinkiem tego samego rodzaju”: OA przez OB z OC przez OD (albo OA przez AB z OC przez CD), a nie np. OA z OD.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa pozwala
Zwykły Tales daje proporcję z równoległości, a odwrotny – równoległość z proporcji.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Dlaczego to działa
- Z proporcji i wspólnego kąta przy O trójkąty OAC i OBD są podobne (cecha bkb).
- Z podobieństwa odpowiednie kąty są równe, więc kąty OAC i OBD są równe. To kąty odpowiadające, więc proste AC i BD są równoległe.
4Zastosowanie
- W trójkącie ABC niech D i E będą środkami boków CA i CB. Wtedy CD przez CA = CE przez CB = 1 przez 2, więc DE ∥ AB.
- Z podobieństwa w skali 1 przez 2 dostajemy jeszcze DE = 1 przez 2AB. Dla AB = 14 mamy DE = 7.
Której cechy podobieństwa użyjesz w dowodzie twierdzenia odwrotnego do Talesa?
Mamy proporcję przy dwóch bokach i wspólny kąt między nimi, czyli cechę bkb.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Jeśli A, B leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O, C, D na drugim, i OA przez OB = OC przez OD, to proste AC i BD są równoległe.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Dane: OA = 3, OB = 9, OC = 4, OD = 12 (A, B na jednym ramieniu kąta, C, D na drugim). Proste AC i BD są
- Arównoległe
- Bnie da się rozstrzygnąć
- Cprostopadłe
- Dnierównoległe
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: równoległe – 3 przez 9 = 4 przez 12 = 1 przez 3, więc z twierdzenia odwrotnego AC ∥ BD.
Dane: OA = 4, OB = 10, OC = 6, OD = 14. Proste AC i BD są
- Aprostopadłe
- Bnierównoległe
- Crównoległe
- Dpokrywają się
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: nierównoległe – 4 przez 10 = 0,4, a 6 przez 14 ≈ 0,43, więc proporcji nie ma i prostych nie można uznać za równoległe.
Który warunek pozwala wnioskować, że AC ∥ BD?
- AOA przez OB = OD przez OC
- BOA przez OB = OC przez OD
- COA = OC
- DOA + OB = OC + OD
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: OA przez OB = OC przez OD – Twierdzenie odwrotne do Talesa wymaga proporcji odpowiednich odcinków: OA przez OB = OC przez OD.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa pozwala
- Auzasadnić równoległość prostych na podstawie proporcji odcinków
- Bobliczyć pole trójkąta
- Cobliczyć długość odcinka, gdy proste są równoległe
- Duzasadnić prostopadłość prostych
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: uzasadnić równoległość prostych na podstawie proporcji odcinków – Zwykły Tales daje proporcję z równoległości, a odwrotny – równoległość z proporcji.
Dane: OA = 2, AB = 3, OC = 4, CD = 6. Wtedy
- AAC i BD nie są równoległe
- BAC ⊥ BD
- CAC ∥ BD
- DOC = OD
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: AC ∥ BD – OA przez AB = 2 przez 3 i OC przez CD = 4 przez 6 = 2 przez 3, więc AC ∥ BD.
Punkty D i E leżą na bokach CA i CB trójkąta ABC tak, że CD przez DA = CE przez EB = 2 przez 3. Wtedy
- ADE ∥ AB
- BDE = AB
- CDE nie jest równoległe do AB
- DDE ⊥ AB
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: DE ∥ AB – Proporcje są równe, więc z twierdzenia odwrotnego DE ∥ AB.
W trójkącie bok AB ma długość 14, a D, E to środki boków CA i CB. Odcinek DE ma długość
- A7
- B14
- C28
- D4,67
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 7 – DE ∥ AB, a skala podobieństwa trójkątów CDE i CAB wynosi 1 przez 2, więc DE = 1 przez 2 · 14 = 7.
Której cechy podobieństwa użyjesz w dowodzie twierdzenia odwrotnego do Talesa?
- Akk: dwie pary równych kątów
- Bcechy przystawania trójkątów
- Cbbb: trzy pary proporcjonalnych boków
- Dbkb: proporcjonalne boki i wspólny kąt przy O
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: bkb: proporcjonalne boki i wspólny kąt przy O – Mamy proporcję przy dwóch bokach i wspólny kąt między nimi, czyli cechę bkb.
Cały dział „Podobieństwo i stereometria”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.