1O co chodzi
- Odwrotna proporcjonalność to zależność, w której iloczyn dwóch wielkości jest stały. Przykład z życia: im więcej osób sprząta mieszkanie, tym krócej trwa sprzątanie, ale „robota do zrobienia” zostaje ta sama.
- Wzór: f(x) = a przez x. Tu x to wielkość, którą wybieramy (x ≠ 0), y = f(x) to druga wielkość, a a ≠ 0 to stała, czyli iloczyn x · y.
- Wykresem jest hiperbola – dwie osobne gałęzie, które nie dotykają osi układu.
2Co z tego wynika
x · y = a, więc gdy x zwiększasz k razy, y maleje k razy. Dla a > 0 wykres leży w ćwiartkach I i III, a dla a < 0 w II i IV.
- Dziedzina: ℝ \ {0}. Zbiór wartości: ℝ \ {0}. Miejsc zerowych nie ma, bo ułamek a przez x przy a ≠ 0 nigdy nie jest zerem.
- Przesuwanie hiperboli (y = a przez x − p + q) masz w klasie II.
Który wzór opisuje odwrotną proporcjonalność?
Tylko w wzorze y = 12 przez x iloczyn x · y jest stały i równy 12.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Zadania z życia
- Ruch – krok po kroku. Dane: droga s = 120 km, prędkość 60 km/h albo 80 km/h.
- Wzór: t = s przez v, gdzie t to czas [h], s droga [km], v prędkość [km/h].
- Obliczenia: 120 przez 60 = 2 oraz 120 przez 80 = 1,5.
- Odpowiedź: 2 h przy 60 km/h i 1,5 h przy 80 km/h – jedziesz szybciej, więc krócej.
- Praca: 6 robotników robi robotę w 10 dni. Dane: 6 · 10 = 60 robotniko-dni. Dla 15 robotników: 60 przez 15 = 4 dni.
- Zawsze określ dziedzinę praktyczną: prędkość v > 0, liczba robotników to liczba całkowita dodatnia.
Mylenie z proporcjonalnością prostą. Dwa razy więcej robotników nie znaczy dwa razy więcej dni, tylko dwa razy mniej.
✎Ściąga: Odwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/x
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- x · y = a, więc gdy x zwiększasz k razy, y maleje k razy. Dla a > 0 wykres leży w ćwiartkach I i III, a dla a < 0 w II i IV.
- Odwrotna proporcjonalność to zależność, w której iloczyn dwóch wielkości jest stały. Przykład z życia: im więcej osób sprząta mieszkanie, tym krócej trwa sprzątanie, ale „robota do zrobienia” zostaje ta sama.
- Ruch – krok po kroku. Dane: droga s = 120 km, prędkość 60 km/h albo 80 km/h.
- Praca: 6 robotników robi robotę w 10 dni. Dane: 6 · 10 = 60 robotniko-dni. Dla 15 robotników: 60 przez 15 = 4 dni.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wykres funkcji y = 6 przez x przechodzi przez punkt
- A(2, 12)
- B(6, 6)
- C(3, 3)
- D(2, 3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (2, 3) – Iloczyn współrzędnych musi być równy 6: 2 · 3 = 6, a pozostałe pary dają 24, 9 i 36.
Dziedziną funkcji f(x) = 5 przez x jest
- Aℝ \ {0}
- Bℝ \ {5}
- Cℝ
- D(0, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ℝ \ {0} – Dzielić przez zero nie wolno, więc wykluczamy tylko x = 0 (liczby ujemne są dozwolone).
Wykres funkcji y = a przez x dla a < 0 leży w ćwiartkach
- AI i III
- BIII i IV
- CI i II
- DII i IV
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: II i IV – Dla a < 0 liczby x i y mają przeciwne znaki, czyli leżą w II i IV ćwiartce.
Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne. Dla x = 4 mamy y = 3. Ile wynosi y dla x = 6?
- A2
- B18
- C4,5
- D7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 – a = 4 · 3 = 12, więc y = 12 przez 6 = 2. Wartość 4,5 dałaby proporcjonalność prosta.
Pociąg ma przejechać 180 km ze stałą prędkością 90 km/h. Potrwa to
- A270 h
- B2 h
- C90 h
- D0,5 h
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2 h – t = s przez v = 180 przez 90 = 2 h.
12 malarzy maluje halę w 5 dni. Ile dni zajmie to 15 malarzom pracującym tak samo szybko?
- A3
- B4
- C7
- D6,25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 4 – 12 · 5 = 60 malarzo-dni, a 60 przez 15 = 4. Wynik 6,25 powstaje przy błędnym rozumowaniu jak w proporcjonalności prostej.
Który wzór opisuje odwrotną proporcjonalność?
- Ay = 12x
- By = x + 12
- Cy = 12 przez x
- Dy = x przez 12
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: y = 12 przez x – Tylko w wzorze y = 12 przez x iloczyn x · y jest stały i równy 12.
Punkt (−2, −5) leży na wykresie y = a przez x. Ile wynosi a?
- A−10
- B−7
- C2,5
- D10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 10 – a = x · y = (−2) · (−5) = 10.
Cały dział „Wyrażenia wymierne”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.