1Co to jest i gdzie ma sens
- Wyrażenie wymierne to iloraz W(x) przez V(x) dwóch wielomianów. Mianownik V(x) nie może być wielomianem zerowym.
- Dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz miejsc zerowych mianownika. Przez zero nie dzielimy. Dla x + 1 przez x² − 4 mianownik (x − 2)(x + 2) zeruje się dla ±2, więc D = ℝ \ {−2, 2}.
2Skracanie
Skracasz czynniki (to, co jest w iloczynie), nigdy składniki sumy. Najpierw rozłóż licznik i mianownik na czynniki, potem skracaj.
- Wyłączenia z dziedziny ustalasz dla wyrażenia wyjściowego, jeszcze przed skracaniem.
- Przykład krok po kroku. Dane: x² − 5x + 6 przez x² − 9.
- Dziedzina: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), więc x ≠ 3 i x ≠ −3.
- Rozkład licznika: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
- Skracamy wspólny czynnik (x − 3): (x − 2)(x − 3) przez (x − 3)(x + 3) = x − 2 przez x + 3.
- Odpowiedź: x − 2 przez x + 3 dla x ∈ ℝ \ {−3, 3}.
Dziedziną wyrażenia x + 1 przez x² − 4 jest
x² − 4 = (x − 2)(x + 2) zeruje się dla ±2.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Mnożenie i dzielenie
A przez B · C przez D = A · C przez B · D oraz A przez B : C przez D = A · D przez B · C. A, B, C, D to wielomiany, przy czym B, D ≠ 0, a przy dzieleniu także C ≠ 0.
- Mnożenie: x² − 9 przez x + 1 · x + 1 przez x − 3 = x + 3 dla x ≠ −1 i x ≠ 3.
- Dzielenie to mnożenie przez odwrotność dzielnika: x² − 1 przez x : x − 1 przez x² = (x − 1)(x + 1) przez x · x² przez x − 1 = x(x + 1).
- Założenia: x ≠ 0 (mianowniki) oraz x ≠ 1 (dzielnik nie może być zerem).
Skracanie składników, np. x + 3 przez 3 = x + 1. Poprawnie: 3x + 3 przez 3 = 3(x + 1) przez 3 = x + 1. Drugi błąd: zgubienie warunku x ≠ 3 po skróceniu x² − 9 przez x − 3.
✎Ściąga: Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenie
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Skracasz czynniki (to, co jest w iloczynie), nigdy składniki sumy. Najpierw rozłóż licznik i mianownik na czynniki, potem skracaj.
- A przez B · C przez D = A · C przez B · D oraz A przez B : C przez D = A · D przez B · C. A, B, C, D to wielomiany, przy czym B, D ≠ 0, a przy dzieleniu także C ≠ 0.
- Wyrażenie wymierne to iloraz W(x) przez V(x) dwóch wielomianów. Mianownik V(x) nie może być wielomianem zerowym.
- Dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz miejsc zerowych mianownika. Przez zero nie dzielimy. Dla x + 1 przez x² − 4 mianownik (x − 2)(x + 2) zeruje się dla ±2, więc D = ℝ \ {−2, 2}.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Dziedziną wyrażenia x + 1 przez x² − 4 jest
- Aℝ \ {−2, 2}
- Bℝ
- Cℝ \ {−1}
- Dℝ \ {2}
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: ℝ \ {−2, 2} – x² − 4 = (x − 2)(x + 2) zeruje się dla ±2.
Wyrażenie x² − 9 przez x − 3 po skróceniu to
- Ax + 3 dla każdego x
- Bx + 3 dla x ≠ 3
- Cx + 3 przez 1 dla x ≠ −3
- Dx − 3 dla x ≠ 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x + 3 dla x ≠ 3 – Po skróceniu zostaje x + 3, ale x = 3 zostaje wykluczone.
Wyrażenie x² − 5x + 6 przez x² − 9 po skróceniu to
- Ax − 2 przez x − 3
- Bx − 3 przez x + 3
- Cx + 2 przez x + 3
- Dx − 2 przez x + 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x − 2 przez x + 3 – Licznik (x − 2)(x − 3), mianownik (x − 3)(x + 3).
Które skrócenie jest poprawne?
- Ax² + 4 przez x + 4 = x
- B3x + 3 przez 3 = x + 1
- Cx + 3 przez 3 = x + 1
- Dx + 5 przez 5 = x + 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 3x + 3 przez 3 = x + 1 – Skracać wolno tylko czynniki iloczynu, a 3x + 3 = 3(x + 1).
Wynik dzielenia x² − 1 przez x : x − 1 przez x² to
- A(x − 1)² przez x³
- Bx + 1 przez x
- Cx(x + 1)
- Dx² − 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x(x + 1) – Mnożymy przez odwrotność: (x − 1)(x + 1) przez x · x² przez x − 1 = x(x + 1).
Przy dzieleniu x² − 1 przez x : x − 1 przez x² trzeba założyć
- Atylko x ≠ 1
- Btylko x ≠ 0
- Cx ≠ 0 i x ≠ 1
- Dx ≠ −1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x ≠ 0 i x ≠ 1 – Mianowniki dają x ≠ 0, a dzielnik nie może być zerem, więc x ≠ 1.
Dziedziną wyrażenia x + 2 przez x² + 1 jest
- Aℝ \ {0}
- Bℝ \ {−1, 1}
- Cℝ
- Dℝ \ {−2}
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ℝ – Mianownik x² + 1 jest zawsze dodatni, więc nic nie wykluczamy.
Wynik mnożenia x² − 9 przez x + 1 · x + 1 przez x − 3 to
- Ax + 3 dla x ≠ −1 i x ≠ 3
- Bx + 3 dla x ≠ 3
- Cx + 3 przez x + 1
- Dx − 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: x + 3 dla x ≠ −1 i x ≠ 3 – Po skróceniu (x + 1) i (x − 3) zostaje x + 3, a założenia pochodzą z wyjściowych mianowników.
Cały dział „Wyrażenia wymierne”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.