ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Wyrażenia wymierneklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/rownania-wymierne/

Matematyka · Wyrażenia wymierne · kl. 3 · zakres rozszerzony

Równania wymierne

Zakres rozszerzony: równanie z niewiadomą w mianowniku rozwiązujesz w czterech krokach i zawsze sprawdzasz, czy wynik mieści się w dziedzinie.

ok. 3 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Cztery kroki

  • Krok 1: zapisz dziedzinę – wszystkie mianowniki mają być różne od zera.
  • Krok 2: pozbądź się ułamków: pomnóż obie strony przez wspólny mianownik albo „na krzyż”.
  • Krok 3: rozwiąż równanie, które wyszło (liniowe albo kwadratowe).
  • Krok 4: sprawdź każde rozwiązanie z dziedziną. Co jest poza dziedziną, odrzucasz.
Zapamiętaj

Ułamek równa się zero tylko wtedy, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie jest zerem.

2Przykład 1: równanie kwadratowe

  • Dane: 1 przez x + 1 przez x − 2 = 1.
  • Dziedzina: x ≠ 0 i x ≠ 2.
  • Mnożymy przez x(x − 2): (x − 2) + x = x(x − 2), czyli 2x − 2 = x2 − 2x.
  • Porządkujemy: x2 − 4x + 2 = 0. Δ = 16 − 8 = 8, pierwiastek z Δ = 2pierwiastek z 2.
  • x = 4 ± 2pierwiastek z 2 przez 2 = 2 ± pierwiastek z 2. Obie liczby są różne od 0 i 2.
  • Odpowiedź: x = 2 − pierwiastek z 2 lub x = 2 + pierwiastek z 2.
Sprawdź, czy rozumiesz

Rozwiązaniem równania x2 − x przez x = 0 jest

3Przykład 2: mnożenie na krzyż

  • Dane: 5 przez x + 1 = x + 3 przez 2x − 1. Dziedzina: x ≠ −⁠1 i x ≠ 1 przez 2.
  • 5(2x − 1) = (x + 3)(x + 1), więc 10x − 5 = x2 + 4x + 3, stąd x2 − 6x + 8 = 0.
  • (x − 2)(x − 4) = 0, więc x = 2 lub x = 4. Obie liczby są w dziedzinie.

4Przykład 3: licznik równy zero

  • x2 − 4 przez x − 2 = 0. Licznik jest zerem dla x = −⁠2 i x = 2, ale x = 2 zeruje mianownik. Zostaje tylko x = −⁠2.
Uwaga na błąd

Zostawienie rozwiązania, które nie należy do dziedziny. Przykład: x przez x − 3 = 3 przez x − 3 daje x = 3, a to jest zabronione, więc równanie nie ma rozwiązań.

Sprawdź, czy rozumiesz

Rozwiązaniem równania x2 − 4 przez x − 2 = 0 jest

✎Ściąga: Równania wymierne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Ułamek równa się zero tylko wtedy, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie jest zerem.
  • Krok 1: zapisz dziedzinę – wszystkie mianowniki mają być różne od zera.
  • Krok 2: pozbądź się ułamków: pomnóż obie strony przez wspólny mianownik albo „na krzyż”.
  • Krok 3: rozwiąż równanie, które wyszło (liniowe albo kwadratowe).
  • Krok 4: sprawdź każde rozwiązanie z dziedziną. Co jest poza dziedziną, odrzucasz.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Rozwiązaniem równania 3 przez x = 12 jest

    1. A15
    2. B4
    3. C1 przez 4
    4. D36
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 przez 4 – Z 3 = 12x wynika x = 3 przez 12 = 1 przez 4.

  2. Rozwiązaniem równania x2 − 4 przez x − 2 = 0 jest

    1. Abrak rozwiązań
    2. Bx = −⁠2 oraz x = 2
    3. Cx = 2
    4. Dx = −⁠2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: x = −⁠2 – Licznik zeruje się dla ±2, ale x = 2 zeruje też mianownik, więc zostaje tylko x = −⁠2.

  3. Równanie x przez x − 3 = 3 przez x − 3

    1. Anie ma rozwiązań
    2. Bma rozwiązanie x = 0
    3. Cma rozwiązanie x = −⁠3
    4. Dma rozwiązanie x = 3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: nie ma rozwiązań – Po pomnożeniu wychodzi x = 3, ale ta liczba nie należy do dziedziny (x ≠ 3).

  4. Rozwiązaniem równania x + 1 przez x = 2 jest

    1. Ax = 0
    2. Bx = 1
    3. Cx = −⁠1
    4. Dx = 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: x = 1 – Dla x ≠ 0: x + 1 = 2x, więc x = 1.

  5. Równanie 1 przez x + 1 przez x − 2 = 1 ma rozwiązania

    1. Ax = 2 − 2pierwiastek z 2 oraz x = 2 + 2pierwiastek z 2
    2. Bx = 2 − pierwiastek z 2 oraz x = 2 + pierwiastek z 2
    3. Cx = 4 − 2pierwiastek z 2 oraz x = 4 + 2pierwiastek z 2
    4. Dbrak rozwiązań
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: x = 2 − pierwiastek z 2 oraz x = 2 + pierwiastek z 2 – Po pomnożeniu przez x(x − 2) mamy x2 − 4x + 2 = 0, Δ = 8, więc x = 4 ± 2pierwiastek z 2 przez 2 = 2 ± pierwiastek z 2.

  6. Rozwiązaniem równania 2 przez x − 1 = 3 przez x jest

    1. Ax = −⁠2
    2. Bx = 3
    3. Cx = 1
    4. Dx = 5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: x = 3 – Mnożenie na krzyż: 2x = 3(x − 1), czyli 2x = 3x − 3, więc x = 3. Dziedzina: x ≠ 0 i x ≠ 1, więc 3 jest dobre.

  7. Dziedziną równania x przez x + 2 = 1 przez x − 3 jest

    1. Ax ≠ −⁠2
    2. Bx ≠ 2 i x ≠ −⁠3
    3. Cx ≠ 0
    4. Dx ≠ −⁠2 i x ≠ 3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: x ≠ −⁠2 i x ≠ 3 – Mianowniki zerują się dla x = −⁠2 oraz x = 3 i obie te liczby wykluczamy.

  8. Rozwiązaniem równania x2 − x przez x = 0 jest

    1. Abrak rozwiązań
    2. Bx = 0 oraz x = 1
    3. Cx = 0
    4. Dx = 1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: x = 1 – Licznik x(x − 1) zeruje się dla 0 i 1, ale x = 0 zeruje mianownik, więc zostaje x = 1.

Cały dział „Wyrażenia wymierne”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku