1Wychylenie i faza
- Oznaczenia: x — wychylenie [m]; A — amplituda [m]; ω — częstość kołowa [rad/s]; t — czas [s]; φ — faza początkowa [rad]; T — okres [s]; f — częstotliwość [Hz].
x = A · sin(ω · t + φ), gdzie ω = 2π przez T = 2π · f.
- Wyrażenie ωt + φ to faza drgań – mówi, w którym miejscu cyklu jest ciało. Faza początkowa φ to faza w chwili t = 0: dla φ = 0 ciało startuje z położenia równowagi, a dla φ = π przez 2 – z wychylenia x = A (wtedy x = A · cos ωt).
- Dwa drgania o tym samym okresie są w fazie zgodnej, gdy ich fazy różnią się o 0, 2π, 4π…, i w przeciwfazie, gdy różnią się o π (3π…); wtedy w każdej chwili mają przeciwne wychylenia.
2Prędkość i przyspieszenie
v = A · ω · cos(ω · t + φ), a = −ω² · x = −A · ω² · sin(ω · t + φ); vmax = A · ω, amax = A · ω².
- Prędkość jest największa przy przechodzeniu przez położenie równowagi (x = 0), a w położeniach skrajnych (x = ±A) jest równa zeru.
- Przyspieszenie ma największą wartość w położeniach skrajnych, a w położeniu równowagi jest zerowe. Minus we wzorze a = −ω²x oznacza, że przyspieszenie jest zawsze skierowane ku położeniu równowagi.
- Z II zasady dynamiki siła wypadkowa F = m · a = −m · ω² · x (m — masa [kg]) jest proporcjonalna do wychylenia i skierowana przeciwnie. Taka siła wywołuje ruch harmoniczny.
Gdzie przyspieszenie w ruchu harmonicznym ma największą wartość?
a = −ω²x, więc wartość a jest największa dla x = ±A.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Przykład
- Dane: A = 0,05 m, T = 0,5 s.
- Wzory: ω = 2π przez T, vmax = A · ω, amax = A · ω².
- Obliczenia: ω = 2π przez 0,5 s ≈ 12,57 rad/s; vmax = 0,05 m · 12,57 rad/s ≈ 0,63 m/s; amax = 0,05 m · (12,57 rad/s)² ≈ 7,9 m/s².
- Odpowiedź: ω ≈ 12,6 rad/s, vmax ≈ 0,63 m/s, amax ≈ 7,9 m/s².
„w położeniu równowagi przyspieszenie jest największe, bo prędkość jest największa”
Tam siła wypadkowa, a więc i a, jest równa zeru; największe a jest w położeniach skrajnych.
✎Ściąga: Ruch harmoniczny – wychylenie, prędkość, przyspieszenie
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- x = A · sin(ω · t + φ), gdzie ω = 2π przez T = 2π · f.
- v = A · ω · cos(ω · t + φ), a = −ω² · x = −A · ω² · sin(ω · t + φ); vmax = A · ω, amax = A · ω².
- Oznaczenia: x — wychylenie [m]; A — amplituda [m]; ω — częstość kołowa [rad/s]; t — czas [s]; φ — faza początkowa [rad]; T — okres [s]; f — częstotliwość [Hz].
- Dane: A = 0,05 m, T = 0,5 s.
- Wzory: ω = 2π przez T, vmax = A · ω, amax = A · ω².
- Obliczenia: ω = 2π przez 0,5 s ≈ 12,57 rad/s; vmax = 0,05 m · 12,57 rad/s ≈ 0,63 m/s; amax = 0,05 m · (12,57 rad/s)² ≈ 7,9 m/s².
- Odpowiedź: ω ≈ 12,6 rad/s, vmax ≈ 0,63 m/s, amax ≈ 7,9 m/s².
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Częstość kołowa drgań o okresie T to
- A1/T
- BT/2π
- C2π·T
- D2π/T
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2π/T – ω = 2π/T = 2πf; wartość 1/T to częstotliwość f.
Wychylenie opisuje wzór x = 0,05·sin(4πt), gdzie x w metrach, t w sekundach. Okres drgań to
- A0,05 s
- B4π s
- C0,5 s
- D2 s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 0,5 s – ω = 4π rad/s, więc T = 2π/ω = 2π/4π = 0,5 s.
Gdzie prędkość w ruchu harmonicznym ma największą wartość?
- Aw połowie amplitudy
- Bw położeniu równowagi
- Cwszędzie taką samą
- Dw położeniach skrajnych
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: w położeniu równowagi – W x = 0 cała energia drgań jest kinetyczna.
Gdzie przyspieszenie w ruchu harmonicznym ma największą wartość?
- Aw położeniach skrajnych
- Btam, gdzie prędkość jest największa
- Cwszędzie taką samą
- Dw położeniu równowagi
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: w położeniach skrajnych – a = −ω²x, więc wartość a jest największa dla x = ±A.
Dla A = 0,05 m i T = 0,5 s prędkość maksymalna wynosi około
- A7,9 m/s
- B0,10 m/s
- C0,025 m/s
- D0,63 m/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 0,63 m/s – v_max = Aω = 0,05 · 12,57 ≈ 0,63 m/s.
Dla A = 0,05 m i T = 0,5 s przyspieszenie maksymalne wynosi około
- A0,63 m/s²
- B7,9 m/s²
- C0,25 m/s²
- D12,6 m/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 7,9 m/s² – a_max = Aω² = 0,05 · 157,9 ≈ 7,9 m/s².
Dwa drgania o tym samym okresie różnią się fazą o π. Są one
- Aw przeciwfazie
- Bnieokresowe
- Cw fazie zgodnej
- Dprzesunięte o ćwierć okresu
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: w przeciwfazie – Różnica faz π oznacza w każdej chwili przeciwne wychylenia.
Ciało drga według wzoru x = A·sin(ωt + π/2). W chwili t = 0 ciało jest
- Aw położeniu x = A i ma prędkość zero
- Bw połowie amplitudy
- Cw położeniu x = −A
- Dw położeniu równowagi i ma największą prędkość
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: w położeniu x = A i ma prędkość zero – sin(π/2) = 1, więc x = A, a v = Aω·cos(π/2) = 0.
Cały dział „Drgania i termodynamika (rozszerzenie)”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.