1Okres drgań
- Oznaczenia: T — okres [s]; ω — częstość kołowa [rad/s]; m — masa [kg]; k — współczynnik sprężystości [N/m]; l — długość wahadła [m]; g — przyspieszenie ziemskie, g ≈ 9,81 m/s².
Ciężarek na sprężynie: ω = pierwiastek z k przez m, czyli T = 2π · pierwiastek z m przez k. Wahadło matematyczne (małe wychylenia): T = 2π · pierwiastek z l przez g.
- Większa masa na sprężynie to dłuższy okres, a sztywniejsza sprężyna (większe k) – krótszy. Okres wahadła zależy od długości i g, ale nie od masy ani (przy małych wychyleniach) od amplitudy.
- Przykład 1. Dane: k = 100 N/m, m = 0,25 kg. Obliczenia: T = 2π · pierwiastek z 0,25 przez 100 s = 2π · 0,05 s ≈ 0,31 s. Odpowiedź: T ≈ 0,31 s.
- Przykład 2. Dane: l = 1,0 m, g = 9,81 m/s². Obliczenia: T = 2π · pierwiastek z 1,0 przez 9,81 s ≈ 2,0 s. Odpowiedź: T ≈ 2,0 s.
2Energia
- Bez oporów energia całkowita jest stała: E = 1 przez 2 · k · A² = 1 przez 2 · m · v² + 1 przez 2 · k · x² (A — amplituda [m], x — wychylenie [m], v — szybkość [m/s]).
- Przykład 3. Dane: k = 100 N/m, A = 0,04 m, m = 0,25 kg. Obliczenia: E = 0,5 · 100 · 0,04² J = 0,08 J; vmax = pierwiastek z 2E przez m = pierwiastek z 0,16 przez 0,25 m/s = 0,8 m/s. Odpowiedź: E = 0,08 J, vmax = 0,8 m/s (to samo daje vmax = Aω = 0,04 · 20 m/s).
Okres wahadła matematycznego (małe wychylenia) to
Zależy od długości i g, nie od masy.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Rezonans i doświadczenie
- Rezonans: amplituda drgań wymuszonych silnie rośnie, gdy częstotliwość siły wymuszającej zbliża się do częstotliwości drgań własnych układu (huśtawka, kieliszek, most).
- Wyznaczanie g wahadłem: zmierz l, a okres wyznacz z czasu wielu drgań. Wtedy g = 4π² · l przez T². Przy l = 0,80 m i 10 drganiach w 17,9 s: T = 1,79 s, g ≈ 9,86 m/s². Sprawdź też, że T nie zależy od amplitudy, i zbadaj T dla kilku długości l.
Mierzenie czasu jednego drgania. Czas reakcji (ok. 0,2 s) to wtedy ok. 10% okresu; przy pomiarze 10 drgań błąd okresu spada do ok. 1%.
✎Ściąga: Sprężyna, wahadło, energia i rezonans
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Ciężarek na sprężynie: ω = pierwiastek z k przez m, czyli T = 2π · pierwiastek z m przez k. Wahadło matematyczne (małe wychylenia): T = 2π · pierwiastek z l przez g.
- Oznaczenia: T — okres [s]; ω — częstość kołowa [rad/s]; m — masa [kg]; k — współczynnik sprężystości [N/m]; l — długość wahadła [m]; g — przyspieszenie ziemskie, g ≈ 9,81 m/s².
- Przykład 1. Dane: k = 100 N/m, m = 0,25 kg. Obliczenia: T = 2π · pierwiastek z 0,25 przez 100 s = 2π · 0,05 s ≈ 0,31 s. Odpowiedź: T ≈ 0,31 s.
- Przykład 2. Dane: l = 1,0 m, g = 9,81 m/s². Obliczenia: T = 2π · pierwiastek z 1,0 przez 9,81 s ≈ 2,0 s. Odpowiedź: T ≈ 2,0 s.
- Przykład 3. Dane: k = 100 N/m, A = 0,04 m, m = 0,25 kg. Obliczenia: E = 0,5 · 100 · 0,04² J = 0,08 J; vmax = pierwiastek z 2E przez m = pierwiastek z 0,16 przez 0,25 m/s = 0,8 m/s. Odpowiedź: E = 0,08 J, vmax = 0,8 m/s (to samo daje vmax = Aω = 0,04 · 20 m/s).
- Rezonans: amplituda drgań wymuszonych silnie rośnie, gdy częstotliwość siły wymuszającej zbliża się do częstotliwości drgań własnych układu (huśtawka, kieliszek, most).
- Wyznaczanie g wahadłem: zmierz l, a okres wyznacz z czasu wielu drgań. Wtedy g = 4π² · l przez T². Przy l = 0,80 m i 10 drganiach w 17,9 s: T = 1,79 s, g ≈ 9,86 m/s². Sprawdź też, że T nie zależy od amplitudy, i zbadaj T dla kilku długości l.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Okres ciężarka o masie m na sprężynie o współczynniku k wynosi
- A2π·m/k
- B√(m/k)
- C2π√(m/k)
- D2π√(k/m)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2π√(m/k) – T rośnie z masą i maleje ze wzrostem sztywności sprężyny.
Okres wahadła matematycznego (małe wychylenia) to
- A2π√(l/g)
- B2π√(g/l)
- C2π·l/g
- D2π√(m/l)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2π√(l/g) – Zależy od długości i g, nie od masy.
Sprężyna k = 100 N/m, ciężarek m = 0,25 kg. Okres drgań wynosi ok.
- A3,1 s
- B0,16 s
- C0,31 s
- D0,05 s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 0,31 s – T = 2π·√(0,25/100) s = 2π·0,05 s ≈ 0,31 s.
Długość wahadła zwiększono 4 razy. Okres
- Awzrośnie 4 razy
- Bzmaleje 2 razy
- Cwzrośnie 2 razy
- Dnie zmieni się
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: wzrośnie 2 razy – T ∼ √l, a √4 = 2.
Masę ciężarka wahadła matematycznego zwiększono 4 razy. Okres
- Awzrośnie 4 razy
- Bwzrośnie 2 razy
- Cnie zmieni się
- Dzmaleje 2 razy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: nie zmieni się – Okres wahadła nie zależy od masy (inaczej niż ciężarka na sprężynie).
Ciężarek na sprężynie o k = 100 N/m drga z amplitudą 0,04 m. Energia drgań wynosi
- A4 J
- B2 J
- C0,08 J
- D0,16 J
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 0,08 J – E = ½kA² = 0,5 · 100 · 0,0016 J = 0,08 J.
Co to jest rezonans mechaniczny?
- AZanikanie drgań wskutek oporów
- BDrgania bez siły wymuszającej
- CWzrost okresu przy dużej amplitudzie
- DSilny wzrost amplitudy, gdy częstotliwość wymuszająca jest bliska częstotliwości własnej
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Silny wzrost amplitudy, gdy częstotliwość wymuszająca jest bliska częstotliwości własnej – Układ najskuteczniej pobiera wtedy energię z wymuszenia.
10 drgań wahadła o długości 0,80 m trwało 17,9 s. Wyznaczone g wynosi ok.
- A9,86 m/s²
- B4,9 m/s²
- C0,099 m/s²
- D2,8 m/s²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 9,86 m/s² – T = 1,79 s, g = 4π²·0,80/1,79² ≈ 9,86 m/s².
Cały dział „Drgania i termodynamika (rozszerzenie)”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.