1Nazwij boki
- Litera α to wybrany kąt ostry trójkąta prostokątnego. a to przyprostokątna naprzeciw α, b to przyprostokątna przy α, a c to przeciwprostokątna.
2Trzy stosunki
sin α = a przez c; cos α = b przez c; tg α = a przez b. Skróty to sinus, cosinus i tangens kąta α.
- Dane: a = 3, b = 4, c = 5. Obliczenia: sin α = 3 przez 5, cos α = 4 przez 5, tg α = 3 przez 4. Wyniki nie mają jednostki.
- Dla kąta ostrego sinus i cosinus leżą między 0 a 1, a tangens jest dodatni.
3Wartości z ekierek
| α | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin α | 1 przez 2 | pierwiastek z 2 przez 2 | pierwiastek z 3 przez 2 |
| cos α | pierwiastek z 3 przez 2 | pierwiastek z 2 przez 2 | 1 przez 2 |
| tg α | pierwiastek z 3 przez 3 | 1 | pierwiastek z 3 |
W trójkącie prostokątnym a = 3, b = 4, c = 5 (a naprzeciw α). Wtedy sin α wynosi
Sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
4Gdy znasz tylko jeden stosunek
sin²α + cos²α = 1 oraz tg α = sin α przez cos α. Zapis sin²α znaczy (sin α)².
- Dane: α ostry, sin α = 5 przez 13.
- Wzór: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 25 przez 169 = 144 przez 169.
- Obliczenia: cos α = 12 przez 13 (kąt ostry, więc cos α > 0), tg α = sin α przez cos α = 5 przez 12.
- Odpowiedź: cos α = 12 przez 13, tg α = 5 przez 12.
- Kąty dopełniające się do 90°: sin(90° − α) = cos α.
5Wysokość drzewa
- h = d · tg α (d – odległość od drzewa, α – kąt wzniesienia). Dla d = 20 m i α = 30°: h = 20 · pierwiastek z 3 przez 3 ≈ 11,5 m, do tego wysokość oczu.
6Kąty od 0° do 180°
- Kąt α ∈ ⟨0°, 180°⟩ odkładasz od dodatniej półosi OX. Na jego drugim ramieniu bierzesz punkt P(x, y) odległy o r od początku układu: sin α = y przez r, cos α = x przez r, tg α = y przez x (dla α ≠ 90°).
- Stąd sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = −1. Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne.
- Wzory: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, tg(180° − α) = −tg α. Np. sin 120° = sin 60° = pierwiastek z 3 przez 2, a cos 150° = −cos 30° = −pierwiastek z 3 przez 2.
- Pole trójkąta: P = 1 przez 2 · a · b · sin γ, gdzie a, b to boki, γ kąt między nimi. Dla 4, 5 i 30° mamy P = 5.
Wybieranie sinusa lub cosinusa z pamięci. Najpierw podpisz bok naprzeciw kąta i bok przy kącie, dopiero potem wybierz stosunek.
Pole trójkąta o bokach 4 i 5 i kącie 30° między nimi wynosi
P = 1 przez 2 · 4 · 5 · sin 30° = 10 · 1 przez 2 = 5.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Trygonometria
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- sin α = a przez c; cos α = b przez c; tg α = a przez b. Skróty to sinus, cosinus i tangens kąta α.
- sin²α + cos²α = 1 oraz tg α = sin α przez cos α. Zapis sin²α znaczy (sin α)².
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
W trójkącie prostokątnym a = 3, b = 4, c = 5 (a naprzeciw α). Wtedy sin α wynosi
- A5 przez 3
- B3 przez 4
- C4 przez 5
- D3 przez 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 3 przez 5 – Sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną.
W tym samym trójkącie tg α wynosi
- A4 przez 3
- B3 przez 4
- C3 przez 5
- D4 przez 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 3 przez 4 – Tangens to naprzeciw przez przy kącie: 3 przez 4.
Wartość sin 30° wynosi
- A1 przez 2
- B1
- Cpierwiastek z 3 przez 2
- Dpierwiastek z 2 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 przez 2 – W trójkącie 30°–60°–90° krótsza przyprostokątna to połowa przeciwprostokątnej.
Wartość tg 60° wynosi
- Apierwiastek z 3 przez 3
- B1 przez 2
- Cpierwiastek z 3
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: pierwiastek z 3 – tg 60° = sin 60° przez cos 60°, a sin 60° = pierwiastek z 3 przez 2 jest pierwiastek z 3 razy większy od cos 60° = 1 przez 2, więc tg 60° = pierwiastek z 3.
Kąt ostry α spełnia sin α = 5 przez 13. Wtedy cos α wynosi
- A5 przez 12
- B13 przez 12
- C8 przez 13
- D12 przez 13
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 12 przez 13 – cos α = pierwiastek z 1 − 25 przez 169 = pierwiastek z 144 przez 169 = 12 przez 13.
Z odległości 20 m widać wierzchołek wieży pod kątem 45°. Wysokość wieży (bez wysokości oczu) to
- A20pierwiastek z 2 m
- B10 m
- C20 m
- D40 m
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 20 m – h = d · tg 45° = 20 · 1 = 20.
Wartość sin 120° wynosi
- A1 przez 2
- B−pierwiastek z 3 przez 2
- C−1 przez 2
- Dpierwiastek z 3 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: pierwiastek z 3 przez 2 – sin(180° − 60°) = sin 60° = pierwiastek z 3 przez 2.
Pole trójkąta o bokach 4 i 5 i kącie 30° między nimi wynosi
- A20
- B10pierwiastek z 3
- C5
- D10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 5 – P = 1 przez 2 · 4 · 5 · sin 30° = 10 · 1 przez 2 = 5.
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.