Wyrażenie n³ − n jest iloczynem

trzech kolejnych liczb całkowitych

Co jest dowodem, że n³ − n dzieli się przez 6 dla każdej liczby całkowitej n?

Rozkład na (n − 1)n(n + 1) i uzasadnienie podzielności przez 2 i 3

Wzory skróconego mnożenia stopnia 3 i dowody algebraiczne

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Język matematykiklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/matematyka/wzory-skroconego-mnozenia-stopnia-3-i-dowody-algebraiczne/

Sześciany sumy i różnicy oraz rozkład sum i różnic sześcianów to rozszerzenie tego, co znasz z kwadratów. Zobacz, jak ich używać do rozkładu na czynniki i do dowodów.

1Wzory na sześciany

Litery a i b to liczby albo całe wyrażenia. Zapis a²b to a² · b.

Zapamiętaj

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Zapamiętaj

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Przykład. Dane: (2x − 1)³.
Wzór: (a − b)³, gdzie a = 2x, b = 1.
Obliczenia: (2x)³ − 3 · (2x)² · 1 + 3 · 2x · 1² − 1³ = 8x³ − 3 · 4x² + 6x − 1.
Odpowiedź: 8x³ − 12x² + 6x − 1.
Rozkład: x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4). Trójmian z drugiego nawiasu nie rozkłada się dalej na czynniki liniowe, bo nie ma miejsc zerowych.
Wzory na potęgi wyższe, np. (a + b)⁴, dają trójkąt Pascala i symbol Newtona. Opisuje je temat o dwumianie w klasie II.

2Grupowanie wyrazów

Gdy wzoru nie widać, pogrupuj składniki i wyłącz wspólne czynniki.
Dane: x³ − 2x² − 9x + 18.
Grupy: (x³ − 2x²) + (−⁠9x + 18) = x²(x − 2) − 9(x − 2).
Wspólny nawias: (x − 2)(x² − 9) = (x − 2)(x − 3)(x + 3).

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyrażenie x³ − 2x² − 9x + 18 rozkłada się na

3Dowody algebraiczne

W dowodzie litera n oznacza dowolną liczbę całkowitą. Wtedy 2n jest parzysta, 2n + 1 nieparzysta, a n, n + 1, n + 2 to trzy kolejne liczby.
Teza: n³ − n dzieli się przez 6. Rozkład: n³ − n = n(n − 1)(n + 1), czyli iloczyn trzech kolejnych liczb. Wśród nich jest liczba parzysta i liczba podzielna przez 3, a 2 i 3 są względnie pierwsze, więc całość dzieli się przez 6.
Nierówności dowodzimy, szukając kwadratu: a² + b² ≥ 2ab ⇔ (a − b)² ≥ 0.
Dodatkowo (poza podstawą) z (pierwiastek z a − pierwiastek z b)² ≥ 0 wynika nierówność między średnimi: a + b przez 2 ≥ pierwiastek z ab dla a, b ≥ 0.

Uwaga na błąd

~~(a + b)³ = a³ + b³~~

Brakuje wyrazów 3a²b i 3ab². Sprawdzenie kilku liczb też nie jest dowodem dla wszystkich n.

✎Ściąga: Wzory skróconego mnożenia stopnia 3 i dowody algebraiczne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Po rozwinięciu (x + 1)³ otrzymujemy
1. Ax³ + 1
2. Bx³ + 3x² + 3x + 1
3. Cx³ + 2x² + 2x + 1
4. Dx³ + 3x + 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x³ + 3x² + 3x + 1 – (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ dla a = x, b = 1.
Wyrażenie x³ − 8 jest równe
1. A(x − 2)³
2. B(x − 2)(x² − 2x + 4)
3. C(x + 2)(x² − 2x + 4)
4. D(x − 2)(x² + 2x + 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (x − 2)(x² + 2x + 4) – a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), a = x, b = 2.
Wyrażenie a³ + b³ jest równe
1. A(a + b)³
2. B(a + b)(a² + ab + b²)
3. C(a + b)(a² − ab + b²)
4. D(a − b)(a² + ab + b²)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (a + b)(a² − ab + b²) – W sumie sześcianów w drugim nawiasie jest minus przy ab.
Wyrażenie (2x − 1)³ po rozwinięciu to
1. A8x³ − 12x² + 6x − 1
2. B8x³ − 1
3. C8x³ − 6x² + 3x − 1
4. D2x³ − 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 8x³ − 12x² + 6x − 1 – a = 2x, b = 1: 8x³ − 3 · 4x² + 3 · 2x − 1.
Wyrażenie x³ − 2x² − 9x + 18 rozkłada się na
1. A(x + 2)(x − 3)(x + 3)
2. B(x − 2)³
3. C(x − 2)(x² + 9)
4. D(x − 2)(x − 3)(x + 3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (x − 2)(x − 3)(x + 3) – Grupowanie: x²(x − 2) − 9(x − 2) = (x − 2)(x² − 9).
Wyrażenie n³ − n jest iloczynem
1. Adwóch kolejnych liczb
2. Btrzech liczb parzystych
3. Ctrzech kolejnych liczb całkowitych
4. Dn i n²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: trzech kolejnych liczb całkowitych – n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1)n(n + 1).
Co jest dowodem, że n³ − n dzieli się przez 6 dla każdej liczby całkowitej n?
1. AWzór (a + b)³
2. BRozkład na (n − 1)n(n + 1) i uzasadnienie podzielności przez 2 i 3
3. CSprawdzenie dla 100 liczb
4. DSprawdzenie dla n = 1, 2, 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Rozkład na (n − 1)n(n + 1) i uzasadnienie podzielności przez 2 i 3 – Przykłady nie dowodzą reguły ogólnej. Potrzebne jest rozumowanie dla dowolnego n.
Nierówność a² + b² ≥ 2ab jest równoważna
1. Aab ≥ 0
2. B(a + b)² ≥ 0
3. C(a − b)² ≥ 0
4. Da² − b² ≥ 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (a − b)² ≥ 0 – a² + b² − 2ab = (a − b)², a kwadrat jest nieujemny.

Cały dział „Język matematyki”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 9 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 1

Zbiory liczbowe i rozwinięcia dziesiętne Pierwiastki i działania na pierwiastkach Potęgi, wykładnik wymierny i notacja wykładnicza Podzielność, liczby pierwsze i dowody na liczbach całkowitych Logarytmy Procenty i punkty procentowe Logarytmy: zmiana podstawy i równania Zbiory, przedziały i nierówności liniowe Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia Równania liniowe, iloczynowe i przekształcanie wzorów Wartość bezwzględna Równania i nierówności z wartością bezwzględną Układy równań liniowych Układy równań i funkcja liniowa z parametrem Funkcja i jej własności Przesuwanie wykresów i proporcjonalność odwrotna Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa Funkcje wykładnicza i logarytmiczna Symetrie wykresów i wykresy z wartością bezwzględną Złożenie funkcji i monotoniczność z definicji Kąty i trójkąty przystające Twierdzenie Pitagorasa i rodzaje trójkątów Czworokąty, wielokąty foremne i pola figur Twierdzenie Talesa i podobieństwo Wektory na płaszczyźnie Trygonometria