1Równanie liniowe
- Rozwiązanie to liczba, która po wstawieniu za niewiadomą daje równość prawdziwą.
- Przekształcenia równoważne: dodajesz lub odejmujesz tę samą liczbę po obu stronach albo mnożysz lub dzielisz obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
- Dane: 3(x − 2) + 4 = 5x − 8.
- Opuść nawias: 3x − 6 + 4 = 5x − 8, czyli 3x − 2 = 5x − 8.
- Przenieś wyrazy z x na prawo, liczby na lewo: −2 + 8 = 5x − 3x, czyli 6 = 2x.
- Odpowiedź: x = 3 (sprawdzenie: 3 · 1 + 4 = 7 = 15 − 8).
Równanie ax + b = cx + d dla a ≠ c ma jedno rozwiązanie x = d − b przez a − c.
- Gdy a = c, są dwa przypadki. Równanie tożsamościowe spełnia każda liczba, np. 2(x + 1) = 2x + 2. Równanie sprzeczne nie ma rozwiązań, np. x + 1 = x + 2.
2Równanie iloczynowe
A · B = 0 ⇔ A = 0 lub B = 0. Iloczyn jest zerem, gdy zerem jest któryś czynnik.
- x(x − 3)(x + 2) = 0 daje x ∈ {−2, 0, 3}.
Rozwiązaniem równania x(x − 3)(x + 2) = 0 są liczby
Każdy czynnik przyrównujemy do zera: x = 0, x = 3, x = −2.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Wyznaczanie niewiadomej ze wzoru
- Traktuj wzór jak równanie z niewiadomą, którą wyznaczasz. Z P = a · b mamy a = P przez b, z v = s przez t mamy t = s przez v.
- Dane: P = (a + b) · h przez 2 (pole trapezu). Pomnóż przez 2, podziel przez h i odejmij a. Odpowiedź: b = 2P przez h − a.
4Zadanie tekstowe
- Dane: suma trzech kolejnych liczb całkowitych wynosi 72.
- Oznaczenia: n − 1, n, n + 1, gdzie n jest całkowite.
- Równanie: (n − 1) + n + (n + 1) = 72, czyli 3n = 72, więc n = 24.
- Odpowiedź: 23, 24, 25.
Dzielenie obu stron równania przez x. Dla x² = 3x dostaniesz x = 3 i zgubisz x = 0. Zamiast dzielić, przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz x: x(x − 3) = 0.
Suma trzech kolejnych liczb całkowitych wynosi 72. Najmniejsza z nich to
n − 1 + n + n + 1 = 3n = 72, więc n = 24, a najmniejsza to 23.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Równania liniowe, iloczynowe i przekształcanie wzorów
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Równanie ax + b = cx + d dla a ≠ c ma jedno rozwiązanie x = d − b przez a − c.
- A · B = 0 ⇔ A = 0 lub B = 0. Iloczyn jest zerem, gdy zerem jest któryś czynnik.
- Przekształcenia równoważne: dodajesz lub odejmujesz tę samą liczbę po obu stronach albo mnożysz lub dzielisz obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Rozwiązaniem równania 3(x − 2) + 4 = 5x − 8 jest
- Ax = 1
- Bx = −3
- Cx = 3
- Dx = 6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x = 3 – 3x − 2 = 5x − 8, więc 6 = 2x i x = 3.
Równanie 5x + 2 = 2x + 11 ma rozwiązanie
- Ax = 3
- Bx = 13 przez 7
- Cx = −3
- Dx = 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: x = 3 – x = 11 − 2 przez 5 − 2 = 3.
Równanie 2(x + 1) = 2x + 2
- Ama jedno rozwiązanie x = 0
- Bnie ma rozwiązań
- Cma nieskończenie wiele rozwiązań
- Dma dwa rozwiązania
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ma nieskończenie wiele rozwiązań – Po rozwinięciu obie strony są takie same, więc spełnia je każda liczba.
Równanie x + 1 = x + 2
- Ama jedno rozwiązanie
- Bma nieskończenie wiele rozwiązań
- Cma rozwiązanie x = 1
- Dnie ma rozwiązań
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: nie ma rozwiązań – Po odjęciu x zostaje 1 = 2, czyli nieprawda.
Rozwiązaniem równania x(x − 3)(x + 2) = 0 są liczby
- A2, 0, −3
- B−2, 0, 3
- C0 i 3
- D−2 i 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −2, 0, 3 – Każdy czynnik przyrównujemy do zera: x = 0, x = 3, x = −2.
Równanie x² = 3x ma rozwiązania
- A3 i −3
- B0 i 3
- Ctylko 3
- Dtylko 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0 i 3 – x² − 3x = x(x − 3) = 0. Dzielenie przez x zgubiłoby rozwiązanie 0.
Ze wzoru P = (a + b)h przez 2 wyznaczamy b =
- A2Ph − a
- B2P przez h + a
- CP przez 2h − a
- D2P przez h − a
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2P przez h − a – 2P = (a + b)h, więc a + b = 2P przez h.
Suma trzech kolejnych liczb całkowitych wynosi 72. Najmniejsza z nich to
- A23
- B24
- C25
- D22
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 23 – n − 1 + n + n + 1 = 3n = 72, więc n = 24, a najmniejsza to 23.
Cały dział „Język matematyki”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.