ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Język matematykiklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/matematyka/wartosc-bezwzgledna/

Matematyka · Język matematyki · kl. 1

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna to odległość od zera. Gdy tak o niej myślisz, równania z kreskami stają się zadaniami z rysunku na osi liczbowej.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Kreski oznaczają odległość

  • |a| to odległość liczby a od zera. Odległość nie bywa ujemna, więc |a| ≥ 0. Liczby 3 i −⁠3 są tak samo daleko od zera: |3| = |−⁠3| = 3.
−5−4−3−2−101234533
W obie strony od zera odmierzamy tę samą odległość 3.
Zapamiętaj

|a| = a dla a ≥ 0 oraz |a| = −⁠a dla a < 0. Dla liczby ujemnej zmieniasz znak, żeby wynik był nieujemny.

  • Np. |−⁠7| = −⁠(−⁠7) = 7. Także |3 − π| = π − 3, bo π ≈ 3,14 jest większe od 3.
  • Własności: |a · b| = |a| · |b|, |a przez b| = |a| przez |b| (b ≠ 0) oraz |a|² = a², stąd pierwiastek z a² = |a|.

2Odległość między liczbami

  • |a − b| to odległość liczb a i b na osi. Np. |5 − 2| = 3.
  • Plus zamień na minus: |x + 3| = |x − (−⁠3)|. To odległość x od −⁠3.
Sprawdź, czy rozumiesz

Wyrażenie |x − 4| oznacza odległość liczby x od

3Równania z wartością bezwzględną

  • W |x| = a liczba a to zadana odległość od zera. Dla a > 0 są dwa rozwiązania: x = a i x = −⁠a. Dla a = 0 jest jedno (x = 0), a dla a < 0 nie ma żadnego.
  • Przykład. Dane: |x − 2| = 5.
  • Pytanie: które liczby są oddalone od 2 o 5?
  • Obliczenia: x − 2 = 5 lub x − 2 = −⁠5.
  • Odpowiedź: x = 7 lub x = −⁠3.
−4−3−2−101234567855
Od liczby 2 możesz odejść o 5 w prawo albo o 5 w lewo.
  • Przykład: |x + 4| = 5 daje x + 4 = 5 lub x + 4 = −⁠5, czyli x = 1 lub x = −⁠9. Sprawdzenie: |1 + 4| = 5 i |−⁠9 + 4| = 5.
  • Równanie |x| = −⁠2 nie ma rozwiązań, bo odległość nie jest ujemna.
Uwaga na błąd

Policzenie tylko jednego przypadku. Dla |x + 2| = 5 wynik 3 to połowa odpowiedzi; drugi wynik to −⁠7. Obie liczby są oddalone od −⁠2 o 5.

✎Ściąga: Wartość bezwzględna

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • |a| = a dla a ≥ 0 oraz |a| = −⁠a dla a < 0. Dla liczby ujemnej zmieniasz znak, żeby wynik był nieujemny.
  • |a| to odległość liczby a od zera. Odległość nie bywa ujemna, więc |a| ≥ 0. Liczby 3 i −⁠3 są tak samo daleko od zera: |3| = |−⁠3| = 3.
  • |a − b| to odległość liczb a i b na osi. Np. |5 − 2| = 3.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Wartość |−⁠7| wynosi

    1. A7
    2. B±7
    3. C0
    4. D−⁠7
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 7 – Odległość liczby −⁠7 od zera to 7.

  2. Wartość |3 − π| jest równa

    1. A3 − π
    2. Bπ − 3
    3. C3 + π
    4. D−⁠π − 3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: π − 3 – Liczba 3 − π jest ujemna (π ≈ 3,14), więc zmieniamy znak: π − 3.

  3. Rozwiązaniem równania |x − 2| = 5 są liczby

    1. A7 i −⁠3
    2. B7 i 3
    3. C−⁠7 i 3
    4. Dtylko 7
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 7 i −⁠3 – x − 2 = 5 daje 7, a x − 2 = −⁠5 daje −⁠3.

  4. Rozwiązaniem równania |x + 4| = 5 są liczby

    1. A1 i 9
    2. Btylko 1
    3. C1 i −⁠9
    4. D−⁠1 i 9
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 i −⁠9 – x + 4 = 5 daje x = 1, a x + 4 = −⁠5 daje x = −⁠9.

  5. Równanie |x| = −⁠2

    1. Ama jedno rozwiązanie
    2. Bnie ma rozwiązań
    3. Cma dwa rozwiązania
    4. Dma nieskończenie wiele rozwiązań
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: nie ma rozwiązań – Wartość bezwzględna nie jest ujemna.

  6. Wartość wyrażenia pierwiastek z (−⁠5)² wynosi

    1. A±5
    2. B−⁠5
    3. C5
    4. D25
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 5 – pierwiastek z a² = |a|, więc wynik to |−⁠5| = 5.

  7. Wyrażenie |x − 4| oznacza odległość liczby x od

    1. A4
    2. B8
    3. C−⁠4
    4. D0
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 4 – |x − a| to odległość x od a.

  8. Ile rozwiązań ma równanie |x − 1| = 0?

    1. Adwa
    2. Bjedno
    3. Cnieskończenie wiele
    4. Dżadnego
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: jedno – Odległość 0 od liczby 1 ma tylko sama liczba 1.

Cały dział „Język matematyki”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 1

Zbiory liczbowe i rozwinięcia dziesiętnePierwiastki i działania na pierwiastkachPotęgi, wykładnik wymierny i notacja wykładniczaPodzielność, liczby pierwsze i dowody na liczbach całkowitychLogarytmyProcenty i punkty procentoweLogarytmy: zmiana podstawy i równaniaZbiory, przedziały i nierówności linioweWyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożeniaRównania liniowe, iloczynowe i przekształcanie wzorówWzory skróconego mnożenia stopnia 3 i dowody algebraiczneRównania i nierówności z wartością bezwzględnąUkłady równań liniowychUkłady równań i funkcja liniowa z parametremFunkcja i jej własnościPrzesuwanie wykresów i proporcjonalność odwrotnaFunkcja liniowaFunkcja kwadratowaFunkcje wykładnicza i logarytmicznaSymetrie wykresów i wykresy z wartością bezwzględnąZłożenie funkcji i monotoniczność z definicjiKąty i trójkąty przystająceTwierdzenie Pitagorasa i rodzaje trójkątówCzworokąty, wielokąty foremne i pola figurTwierdzenie Talesa i podobieństwoWektory na płaszczyźnieTrygonometria