Kąty i trójkąty przystające | Matematyka, klasa 1 LO

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Planimetriaklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/matematyka/katy-i-trojkaty-przystajace/

Kąty i trójkąty przystające

Kąty przy przecinających się prostych, suma kątów w trójkącie i cechy przystawania to podstawowy sprzęt do dowodów w geometrii. Zobacz, co z czego wynika.

1Dwie przecinające się proste

Greckie litery α, β, δ oznaczają miary kątów, a znak ° to stopnie.

Kąty α i β są przyległe, a α i α′ wierzchołkowe.

Kąty przyległe mają wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą, więc α + β = 180°.
Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie i są równe: α = α′.
Dane: α = 115°.
Kąt przyległy: β = 180° − 115° = 65°.
Kąt wierzchołkowy: α′ = α = 115°.
Odpowiedź: β = 65°, α′ = 115°.

2Proste równoległe

Dla prostych k ∥ l równe są kąty odpowiadające i naprzemianległe wewnętrzne.

Znak ∥ znaczy „równoległe”. Gdy prosta k ∥ l, kąty odpowiadające (ta sama pozycja przy obu przecięciach) są równe, a także naprzemianległe wewnętrzne (między prostymi, po przeciwnych stronach siecznej).

Sprawdź, czy rozumiesz

Które kąty są równe, gdy proste k i l są równoległe?

3Trójkąty i wielokąty

Suma kątów trójkąta to 180°, a czworokąta 360°. W n-kącie wypukłym suma wynosi (n − 2) · 180°. Np. dla pięciokąta 3 · 180° = 540°.

Kąt zewnętrzny δ trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają.

Przykład: kąty 50° i 60° dają trzeci kąt 70°. Kąt zewnętrzny przy nim to 110° = 50° + 60°.
Każdy bok trójkąta jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Z odcinków 2, 3 i 6 trójkąta nie ułożysz, bo 2 + 3 < 6.
Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

4Trójkąty przystające

Przystające trójkąty mają ten sam kształt i rozmiar. Skróty: b to bok, k to kąt.
bbb: trzy pary boków równe. bkb: dwa boki i kąt między nimi. kbk: bok i dwa kąty do niego przyległe.
Gdy trójkąty są przystające, równe są też pozostałe odpowiadające elementy. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty przystające (bbb).

Uwaga na błąd

Uznanie trójkątów za przystające, bo mają trzy równe kąty (kkk). To daje tylko podobieństwo: rozmiary mogą być różne.

Sprawdź, czy rozumiesz

Który zestaw wystarcza do uznania trójkątów za przystające?

✎Ściąga: Kąty i trójkąty przystające

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

Kąty przyległe mają wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą, więc α + β = 180°.
Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie i są równe: α = α′.
Przystające trójkąty mają ten sam kształt i rozmiar. Skróty: b to bok, k to kąt.
bbb: trzy pary boków równe. bkb: dwa boki i kąt między nimi. kbk: bok i dwa kąty do niego przyległe.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Kąty przyległe α i β spełniają zależność
1. Aα + β = 360°
2. Bα + β = 90°
3. Cα = β
4. Dα + β = 180°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: α + β = 180° – Przyległe tworzą razem kąt półpełny.
Jeden z kątów wierzchołkowych ma 115°. Drugi kąt wierzchołkowy ma
1. A115°
2. B75°
3. C180°
4. D65°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 115° – Kąty wierzchołkowe są równe.
Suma kątów wewnętrznych pięciokąta wypukłego wynosi
1. A540°
2. B360°
3. C720°
4. D900°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 540° – (5 − 2) · 180° = 540°.
Dwa kąty trójkąta mają 50° i 60°. Kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku ma
1. A250°
2. B70°
3. C110°
4. D130°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 110° – Kąt zewnętrzny jest sumą dwóch kątów nieprzyległych: 50° + 60° = 110°.
Z których odcinków można zbudować trójkąt?
1. A2, 2, 5
2. B2, 3, 6
3. C3, 4, 5
4. D1, 2, 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 3, 4, 5 – Najdłuższy bok musi być krótszy od sumy pozostałych: 5 < 3 + 4.
Które kąty są równe, gdy proste k i l są równoległe?
1. Anaprzemianległe wewnętrzne
2. Bprzyległe
3. Ckażde dwa kąty przy siecznej
4. Dżadne
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: naprzemianległe wewnętrzne – Przy prostych równoległych równe są kąty odpowiadające i naprzemianległe.
Który zestaw wystarcza do uznania trójkątów za przystające?
1. Atrzy równe kąty
2. Bdwa boki i kąt nieleżący między nimi
3. Crówne obwody
4. Ddwa boki i kąt między nimi
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: dwa boki i kąt między nimi – Taka jest cecha bkb. Trzy równe kąty dają tylko podobieństwo.
W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma 40°. Kąt przy podstawie ma
1. A80°
2. B40°
3. C140°
4. D70°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 70° – Kąty przy podstawie są równe i razem mają 140°, czyli po 70°.

Cały dział „Planimetria”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 9 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 1

Zbiory liczbowe i rozwinięcia dziesiętne Pierwiastki i działania na pierwiastkach Potęgi, wykładnik wymierny i notacja wykładnicza Podzielność, liczby pierwsze i dowody na liczbach całkowitych Logarytmy Procenty i punkty procentowe Logarytmy: zmiana podstawy i równania Zbiory, przedziały i nierówności liniowe Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia Równania liniowe, iloczynowe i przekształcanie wzorów Wartość bezwzględna Wzory skróconego mnożenia stopnia 3 i dowody algebraiczne Równania i nierówności z wartością bezwzględną Układy równań liniowych Układy równań i funkcja liniowa z parametrem Funkcja i jej własności Przesuwanie wykresów i proporcjonalność odwrotna Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa Funkcje wykładnicza i logarytmiczna Symetrie wykresów i wykresy z wartością bezwzględną Złożenie funkcji i monotoniczność z definicji Twierdzenie Pitagorasa i rodzaje trójkątów Czworokąty, wielokąty foremne i pola figur Twierdzenie Talesa i podobieństwo Wektory na płaszczyźnie Trygonometria