ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Funkcjeklasa 1 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/1/matematyka/funkcja-liniowa/

Matematyka · Funkcje · kl. 1

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa opisuje wszystko, co zmienia się w stałym tempie: taksówkę, abonament, ścieżkę roweru. Zobacz, co mówią jej dwie liczby i jak znaleźć wzór prostej z dwóch punktów.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Dwie liczby ustawiają prostą

  • f(x) = ax + b, czyli y = ax + b. Tu x to argument, y wynik, a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny. Wykres to prosta.
  • Gdy x rośnie o 1, wynik zmienia się o a. Liczba b to wynik dla x = 0, więc prosta przecina oś OY w punkcie (0, b).
  • Miejsce zerowe x₀ to argument dający wynik 0. Dla a ≠ 0 z równania ax + b = 0 mamy x₀ = −⁠b przez a.
xy0−4−3−2−112345−3−2−112345a > 0a < 0a = 0b = 1
Idąc w prawo, wykres rośnie dla a > 0, maleje dla a < 0 i jest poziomy dla a = 0.
  • Dla a > 0 funkcja rośnie, dla a < 0 maleje, a dla a = 0 jest stała.

2Prosta z dwóch punktów

  • Punkty A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂): x₁, x₂ to współrzędne poziome, y₁, y₂ pionowe, a x₁ ≠ x₂.
Zapamiętaj

a = y₂ − y₁ przez x₂ − x₁ oraz b = y₁ − a · x₁. Dzielisz zmianę wysokości przez zmianę położenia poziomego.

xy0−112345−112345678A(1, 3)B(3, 7)Δx = 2Δy = 4
Dla A(1, 3) i B(3, 7) przyrost y wynosi 4, a przyrost x wynosi 2.
  • Dane: A(1, 3), B(3, 7). Obliczenia: a = 7 − 3 przez 3 − 1 = 2, potem b = 3 − 2 · 1 = 1.
  • Odpowiedź: y = 2x + 1. Sprawdzenie: punkt B daje 2 · 3 + 1 = 7.
Sprawdź, czy rozumiesz

Funkcja stała f(x) = 4 ma wykres, który jest prostą

3Proste równoległe i prostopadłe

  • Dla prostych y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂: równoległe, gdy a₁ = a₂, a prostopadłe, gdy a₁ · a₂ = −⁠1.
xy0−4−3−2−112345−4−3−2−112345y = 2x + 1y = 2x − 3y = −½x + 2
Dla niezerowego a prostopadła ma współczynnik −⁠1 przez a.
  • Prostopadła do y = 2x + 1 przez punkt (4, 1): a = −⁠1 przez 2, potem b = 1 − (−⁠1 przez 2) · 4 = 3. Odpowiedź: y = −⁠1 przez 2x + 3.
  • Prosta pozioma jest prostopadła do pionowej (x = c), której nie zapiszesz jako y = ax + b.

4Przykład z życia

  • Taksówka: 8 zł opłaty początkowej i 3 zł za kilometr, więc K(s) = 3s + 8. Tu s to liczba kilometrów, a K koszt w złotych. Współczynnik a = 3 zł/km, a wyraz wolny b = 8 zł.
Uwaga na błąd

Mylenie b z miejscem zerowym. Liczba b leży na osi OY, a miejsce zerowe na osi OX i wynosi −⁠b przez a.

Sprawdź, czy rozumiesz

Koszt taksówki to K(s) = 3s + 8, gdzie s to liczba kilometrów. Za 10 km zapłacisz

✎Ściąga: Funkcja liniowa

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • a = y₂ − y₁ przez x₂ − x₁ oraz b = y₁ − a · x₁. Dzielisz zmianę wysokości przez zmianę położenia poziomego.
  • f(x) = ax + b, czyli y = ax + b. Tu x to argument, y wynik, a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny. Wykres to prosta.
  • Miejsce zerowe x₀ to argument dający wynik 0. Dla a ≠ 0 z równania ax + b = 0 mamy x₀ = −⁠b przez a.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Prosta y = −⁠3x + 5 przecina oś OY w punkcie

    1. A(0, −⁠3)
    2. B(0, 5)
    3. C(5, 0)
    4. D(−⁠3, 0)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: (0, 5) – Dla x = 0 wynik to wyraz wolny b = 5.

  2. Miejsce zerowe funkcji f(x) = 2x − 6 to

    1. A−⁠6
    2. B3
    3. C6
    4. D−⁠3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 3 – 2x − 6 = 0, czyli x = 3. Ze wzoru: −⁠b przez a = 6 przez 2.

  3. Funkcja f(x) = (m − 2)x + 1 jest rosnąca, gdy

    1. Am = 2
    2. Bm < 2
    3. Cm > 2
    4. Dm > 0
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: m > 2 – Współczynnik kierunkowy a = m − 2 ma być dodatni.

  4. Prosta przechodząca przez punkty (1, 3) i (3, 7) ma wzór

    1. Ay = x + 2
    2. By = 3x
    3. Cy = 2x + 1
    4. Dy = 2x − 1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: y = 2x + 1 – a = 7 − 3 przez 3 − 1 = 2, a b = 3 − 2 = 1.

  5. Prosta równoległa do y = 3x − 1 i przechodząca przez (0, 4) ma wzór

    1. Ay = 4x + 3
    2. By = −⁠1 przez 3x + 4
    3. Cy = 3x + 4
    4. Dy = 3x − 1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: y = 3x + 4 – Równoległe mają ten sam współczynnik a = 3, a b wynika z punktu (0, 4).

  6. Prosta prostopadła do y = 3x − 1 ma współczynnik kierunkowy

    1. A1 przez 3
    2. B3
    3. C−⁠1 przez 3
    4. D−⁠3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: −⁠1 przez 3 – Dla prostopadłych a₁ · a₂ = −⁠1, więc a₂ = −⁠1 przez 3.

  7. Koszt taksówki to K(s) = 3s + 8, gdzie s to liczba kilometrów. Za 10 km zapłacisz

    1. A38 zł
    2. B30 zł
    3. C110 zł
    4. D83 zł
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 38 zł – K(10) = 3 · 10 + 8 = 38.

  8. Funkcja stała f(x) = 4 ma wykres, który jest prostą

    1. Apoziomą
    2. Brosnącą
    3. Cmalejącą
    4. Dpionową
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: poziomą – Dla a = 0 wynik zawsze wynosi 4, więc prosta jest pozioma.

Cały dział „Funkcje”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 1

Zbiory liczbowe i rozwinięcia dziesiętnePierwiastki i działania na pierwiastkachPotęgi, wykładnik wymierny i notacja wykładniczaPodzielność, liczby pierwsze i dowody na liczbach całkowitychLogarytmyProcenty i punkty procentoweLogarytmy: zmiana podstawy i równaniaZbiory, przedziały i nierówności linioweWyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożeniaRównania liniowe, iloczynowe i przekształcanie wzorówWartość bezwzględnaWzory skróconego mnożenia stopnia 3 i dowody algebraiczneRównania i nierówności z wartością bezwzględnąUkłady równań liniowychUkłady równań i funkcja liniowa z parametremFunkcja i jej własnościPrzesuwanie wykresów i proporcjonalność odwrotnaFunkcja kwadratowaFunkcje wykładnicza i logarytmicznaSymetrie wykresów i wykresy z wartością bezwzględnąZłożenie funkcji i monotoniczność z definicjiKąty i trójkąty przystająceTwierdzenie Pitagorasa i rodzaje trójkątówCzworokąty, wielokąty foremne i pola figurTwierdzenie Talesa i podobieństwoWektory na płaszczyźnieTrygonometria