1Trzy postacie jednego wzoru
- Ogólna: f(x) = ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0. Liczba c to wynik dla x = 0.
- Kanoniczna: f(x) = a(x − p)² + q. Od razu widać wierzchołek W = (p, q).
- Iloczynowa: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Widać miejsca zerowe x₁ i x₂. Istnieje tylko dla Δ ≥ 0 (dla Δ = 0 jest to a(x − x₀)²).
- Dla a > 0 ramiona idą w górę, a q jest najmniejszą wartością. Dla a < 0 idą w dół, a q jest największą wartością. Prosta x = p to oś symetrii.
2Wzory
Δ = b² − 4ac; p = −b przez 2a; q = −Δ przez 4a (albo q = f(p)). Litery a, b, c to współczynniki wzoru ogólnego, a Δ (delta) to wyróżnik.
- Δ > 0: dwa miejsca zerowe x₁ = −b − pierwiastek z Δ przez 2a i x₂ = −b + pierwiastek z Δ przez 2a. Δ = 0: jedno, x₀ = −b przez 2a. Δ < 0: brak miejsc zerowych.
3Przykład krok po kroku
- Dane: f(x) = x² − 4x + 3, czyli a = 1, b = −4, c = 3. Uważaj, b bierzesz razem z minusem.
- Obliczenia: Δ = 16 − 12 = 4, więc pierwiastek z Δ = 2. Miejsca zerowe: x₁ = 4 − 2 przez 2 = 1, x₂ = 4 + 2 przez 2 = 3.
- Wierzchołek: p = 4 przez 2 = 2, q = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
- Odpowiedź: W = (2, −1), postać kanoniczna f(x) = (x − 2)² − 1.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 3 jest równa
Ramiona w górę, więc minimum to q = f(2) = −1.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
4Wzór z wierzchołka i punktu
- Dane: W(1, −2) i punkt (3, 6).
- Wzór: postać kanoniczna y = a(x − 1)² − 2.
- Obliczenia: wstaw x = 3, y = 6: 6 = a · 2² − 2, czyli 4a = 8, więc a = 2.
- Odpowiedź: y = 2(x − 1)² − 2.
5Nierówność z rysunku
- Dla x² − 4 < 0 miejsca zerowe to −2 i 2, a ramiona idą w górę. Pod osią OX parabola leży między nimi: x ∈ (−2, 2).
We wzorze na p brakuje minusa. Dla b = −6 mamy −b = 6, więc dla a = 1 jest p = 3, a nie −3.
Osią symetrii paraboli y = −2x² + 8x − 3 jest prosta
p = −8 przez 2 · (−2) = 2.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Funkcja kwadratowa
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Δ = b² − 4ac; p = −b przez 2a; q = −Δ przez 4a (albo q = f(p)). Litery a, b, c to współczynniki wzoru ogólnego, a Δ (delta) to wyróżnik.
- Ogólna: f(x) = ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0. Liczba c to wynik dla x = 0.
- Kanoniczna: f(x) = a(x − p)² + q. Od razu widać wierzchołek W = (p, q).
- Iloczynowa: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Widać miejsca zerowe x₁ i x₂. Istnieje tylko dla Δ ≥ 0 (dla Δ = 0 jest to a(x − x₀)²).
- Δ > 0: dwa miejsca zerowe x₁ = −b − pierwiastek z Δ przez 2a i x₂ = −b + pierwiastek z Δ przez 2a. Δ = 0: jedno, x₀ = −b przez 2a. Δ < 0: brak miejsc zerowych.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wierzchołek paraboli y = x² − 6x + 5 ma współrzędne
- A(−3, −4)
- B(3, −4)
- C(6, 5)
- D(3, 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (3, −4) – p = 6 przez 2 = 3, a q = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.
Miejsca zerowe funkcji f(x) = x² − 5x + 6 to
- A−1 i −6
- B1 i 6
- C−2 i −3
- D2 i 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2 i 3 – Δ = 25 − 24 = 1, więc x = 5 ± 1 przez 2, czyli 2 i 3.
Funkcja f(x) = x² + 4x + 5 ma
- Anieskończenie wiele miejsc zerowych
- Bzero miejsc zerowych
- Cjedno miejsce zerowe
- Ddwa miejsca zerowe
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: zero miejsc zerowych – Δ = 16 − 20 = −4 < 0.
Funkcja f(x) = x² − 6x + 9 ma
- Atrzy miejsca zerowe
- Bbrak miejsc zerowych
- Cjedno miejsce zerowe
- Ddwa miejsca zerowe
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: jedno miejsce zerowe – Δ = 36 − 36 = 0, więc x₀ = 3. Wzór to (x − 3)².
Zbiorem rozwiązań nierówności x² − 4 < 0 jest
- A(2, +∞)
- B(−∞, −2) ∪ (2, +∞)
- C⟨−2, 2⟩
- D(−2, 2)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (−2, 2) – Ramiona w górę, parabola leży pod osią OX między miejscami zerowymi −2 i 2.
Parabola y = a(x − 1)² − 2 przechodzi przez punkt (3, 6). Wtedy a wynosi
- A2
- B8
- C4
- D−2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 – Mamy 6 = a · 4 − 2, więc a = 2.
Najmniejsza wartość funkcji f(x) = x² − 4x + 3 jest równa
- A3
- B−1
- C1
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −1 – Ramiona w górę, więc minimum to q = f(2) = −1.
Osią symetrii paraboli y = −2x² + 8x − 3 jest prosta
- Ax = 4
- Bx = −2
- Cx = 8
- Dx = 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x = 2 – p = −8 przez 2 · (−2) = 2.
Cały dział „Funkcje”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.